Вариант 1. 1) Разложите числа на простые множители: а) 112; б) 990. 2) Найдите НОД и НОК чисел: а) 36 и 54; б) 480 и 720. 3) Вычислите: 54302 − (27740 : 76 + 2 · 345). 4) Округлите натуральные числа: а) до десятков: 234; 5486; 1005; б) до сотен: 654; 8632; 23789; в) до тысяч: 3409; 23697; 56467. 5) На велосипедной трассе через каждые 400 м находится наблюдатель, а через каждые 900 м от места старта — пункт отдыха, где можно попить воды. На каком наименьшем расстоянии от места старта можно попить воды рядом с наблюдателем? 6) Решите уравнения: а) 2x − 4x = 231; б) (x − 45) · 13 = 156.

Делим число на простые множители:

а) 112 = 2 · 56 = 2² · 28 = 2³ · 14 = 2⁴ · 7.

б) 990 = 99 · 10 = 3² · 11 · 2 · 5 = 2 · 3² · 5 · 11.

а) 36 = 2² · 3², 54 = 2 · 3³. Общие множители в наименьших степенях дают НОД, все множители в наибольших степенях — НОК.

НОД(36, 54) = 2 · 3² = 18; НОК(36, 54) = 2² · 3³ = 108.

б) 480 = 2⁵ · 3 · 5, 720 = 2⁴ · 3² · 5.

НОД(480, 720) = 2⁴ · 3 · 5 = 240; НОК(480, 720) = 2⁵ · 3² · 5 = 1440.

Сначала выполняем деление и умножение в скобках:

27740 : 76 = 365, так как 76 · 365 = 27740; 2 · 345 = 690.

54302 − (365 + 690) = 54302 − 1055 = 53247.

При округлении смотрим на цифру справа от разряда округления: если она меньше 5, разряд не меняется; если не меньше 5, увеличивается на 1.

а) До десятков: 234 → 230; 5486 → 5490; 1005 → 1010.

б) До сотен: 654 → 700; 8632 → 8600; 23789 → 23800.

в) До тысяч: 3409 → 3000; 23697 → 24000; 56467 → 56000.

Нужно найти наименьшее расстояние, кратное и 400, и 900, то есть НОК этих чисел.

400 = 2⁴ · 5²; 900 = 2² · 3² · 5².

НОК(400, 900) = 2⁴ · 3² · 5² = 3600.

Условный ответ: 3600 м (3 км 600 м).

а) 2x − 4x = 231.

−2x = 231, поэтому x = −115,5.

б) (x − 45) · 13 = 156.

x − 45 = 156 : 13 = 12; x = 12 + 45 = 57.