Вариант 1. 1. Решить неравенство: −x² − x + 12 > 0. 2. Решить уравнения: а) 18x − 2x³ = 0; б) x⁴ + 6x² − 40 = 0. 3. Решите неравенство методом интервалов: а) (5x − 2,5)(2x + 4,2)(4x + 8) < 0; б) (x + 2)²(x − 6)(3 − x) ≥ 0. 4. Решите дробно-рациональное уравнение: (x² − 11x + 30)/(x² − 25) = 0. 5. Упростить выражение: (y² − 2y + 1)/(x − 2) : (y² − 1)/(x² − 4) − (2y − x)/(y + 1).

Question

Вопрос:

Фото задания: Вариант 1. 1. Решить неравенство: −x² − x + 12 > 0. 2. Решить уравнения: а) 18x − 2x³ = 0; б) x⁴ + 6x² − 40 = 0. 3. Решите…

Вариант 1. 1. Решить неравенство: −x² − x + 12 > 0. 2. Решить уравнения: а) 18x − 2x³ = 0; б) x⁴ + 6x² − 40 = 0. 3. Решите неравенство методом интервалов: а) (5x − 2,5)(2x + 4,2)(4x + 8) < 0; б) (x + 2)²(x − 6)(3 − x) ≥ 0. 4. Решите дробно-рациональное уравнение: (x² − 11x + 30)/(x² − 25) = 0. 5. Упростить выражение: (y² − 2y + 1)/(x − 2) : (y² − 1)/(x² − 4) − (2y − x)/(y + 1).

Accepted Answer

1. Найдём нули квадратного трёхчлена: −x² − x + 12 = −(x + 4)(x − 3). Нули: −4 и 3. Поскольку парабола направлена ветвями вниз, выражение положительно между нулями.

Ответ: x ∈ (−4; 3).

2а. Вынесем общий множитель и разложим на множители: 18x − 2x³ = 2x(9 − x²) = 2x(3 − x)(3 + x) = 0. Отсюда x = 0, x = 3 или x = −3.

Ответ: x ∈ {−3; 0; 3}.

2б. Сделаем замену t = x²: t² + 6t − 40 = (t + 10)(t − 4) = 0. Получаем t = −10 или t = 4. Так как x² ≥ 0, подходит только x² = 4, откуда x = ±2.

Ответ: x ∈ {−2; 2}.

3а. Нули множителей: x = −2,1, x = −2, x = 0,5. Все корни простые, знак при переходе через каждый корень меняется. Старший коэффициент произведения положителен, поэтому справа от всех корней знак положительный. Для строгого неравенства нули исключаем.

Ответ: x ∈ (−∞; −2,1) ∪ (−2; 0,5).

3б. Нули: −2 (кратность 2), 3 и 6. Множитель (x + 2)² не меняет знак; при x ≠ −2 знак определяется произведением (x − 6)(3 − x), которое положительно на (3; 6). Поскольку неравенство нестрогое, включаем нули.

Ответ: x ∈ {−2} ∪ [3; 6].

4. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Разложим на множители: x² − 11x + 30 = (x − 5)(x − 6), x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Из числителя получаем x = 5 или x = 6, но знаменатель обращается в ноль при x = ±5. Поэтому x = 5 не подходит, остаётся x = 6.

Ответ: x = 6.

5. Область допустимых значений исходного выражения: x ≠ 2, x ≠ −2, y ≠ 1, y ≠ −1. Деление заменим умножением на обратную дробь:

((y − 1)²/(x − 2)) : ((y − 1)(y + 1)/((x − 2)(x + 2))) = (y − 1)(x + 2)/(y + 1).

Теперь вычтем дроби с одинаковым знаменателем:

((y − 1)(x + 2) − (2y − x))/(y + 1) = (xy − 2)/(y + 1).

Ответ: (xy − 2)/(y + 1), при x ≠ ±2, y ≠ ±1.