Вариант 1. 1. Решите линейное уравнение: 4(2x−3)=3x+7. 2. Решите квадратное уравнение: 2x²−7x−4=0. 3. Решите биквадратное уравнение: x⁴−8x²+16=0. 4. Решите дробно-рациональное уравнение: (x+2)/(x−3)−2x/(x+1)=0. 5. Решите уравнение, сводящееся к квадратному: (x²−5x)²−30(x²−5x)−216=0. 6. Решите задачу алгебраическим методом: расстояние между двумя городами 240 км. Один автомобиль проезжает его на 1 час быстрее другого. Найдите скорости автомобилей, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого.

1. Раскроем скобки и соберём неизвестные в одной части: \(8x-12=3x+7\), \(5x=19\), поэтому \(x=\frac{19}{5}\).

2. Разложим квадратный трёхчлен на множители: \(2x^2-7x-4=(2x+1)(x-4)=0\). Значит, \(x=-\frac12\) или \(x=4\).

3. Положим \(t=x^2\). Тогда \(t^2-8t+16=(t-4)^2=0\), откуда \(x^2=4\), поэтому \(x=-2\) или \(x=2\).

4. Ограничения: \(x\ne3\), \(x\ne-1\). Умножим уравнение на \((x-3)(x+1)\): \((x+2)(x+1)-2x(x-3)=0\). После раскрытия скобок получаем \(-x^2+9x+2=0\), то есть \(x^2-9x-2=0\). По формуле корней: \(x=\frac{9\pm\sqrt{89}}{2}\). Оба корня допустимы.

5. Положим \(t=x^2-5x\). Тогда \(t^2-30t-216=0\), откуда \(t=36\) или \(t=-6\).

   Если \(x^2-5x=36\), то \(x^2-5x-36=0\), откуда \(x=9\) или \(x=-4\).

   Если \(x^2-5x=-6\), то \(x^2-5x+6=0\), откуда \(x=2\) или \(x=3\).

6. Пусть скорость более медленного автомобиля равна \(v\) км/ч, тогда скорость второго — \(v+20\) км/ч. По условию разность времени в пути равна 1 часу:

   \(\frac{240}{v}-\frac{240}{v+20}=1\).

   Здесь \(v>0\). Умножим на \(v(v+20)\): \(240(v+20)-240v=v(v+20)\), поэтому \(v^2+20v-4800=0\). Корни: \(v=60\) и \(v=-80\). Отрицательная скорость не подходит.

Ответ: 1) \(\frac{19}{5}\); 2) \(-\frac12, 4\); 3) \(-2, 2\); 4) \(\frac{9-\sqrt{89}}{2}, \frac{9+\sqrt{89}}{2}\); 5) \(-4, 2, 3, 9\); 6) 60 км/ч и 80 км/ч.