Вариант 1 №1. Решите неравенства: а) -x²+11x-18≥0; б) (x-8)(x+3) < 0.

Решение:

а) —x² + 11x — 18 ≥ 0

• Перепишем неравенство, умножив на -1 и поменяв знак: x² — 11x + 18 ≤ 0
• Найдем корни квадратного уравнения x² — 11x + 18 = 0.
• Дискриминант (D) = b² — 4ac = (—11)² — 4 · 1 · 18 = 121 — 72 = 49.
• Корни: x₁ = (11 + √49) / 2 = (11 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9
• x₂ = (11 — √49) / 2 = (11 — 7) / 2 = 4 / 2 = 2
• Парабола y = x² — 11x + 18 направлена ветвями вверх. Неравенство x² — 11x + 18 ≤ 0 выполняется при x, лежащих между корнями, включая корни.
• Таким образом, для части а) 2 ≤ x ≤ 9.

б) (x — 8)(x + 3) < 0

• Найдем корни уравнения (x — 8)(x + 3) = 0.
• Корни: x₁ = 8 и x₂ = —3.
• На числовой прямой отметим корни —3 и 8. Эти точки делят прямую на три интервала: (—∞, —3), (—3, 8), (8, +∞).
• Проверим знак выражения (x — 8)(x + 3) в каждом интервале:
• Если x < —3 (например, x = —4): (—4 — 8)(—4 + 3) = (—12)(—1) = 12 > 0.
• Если —3 < x < 8 (например, x = 0): (0 — 8)(0 + 3) = (—8)(3) = —24 < 0.
• Если x > 8 (например, x = 9): (9 — 8)(9 + 3) = (1)(12) = 12 > 0.
• Неравенство (x — 8)(x + 3) < 0 выполняется на интервале, где знак отрицательный.
• Таким образом, для части б) —3 < x < 8.

Ответ: а) [2; 9]; б) (—3; 8)