Вариант 1: 1. Решите систему уравнений: {4x+y=3, 6x-2y=1. 2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.? 3. Решите систему уравнений: {2(3x+2y)+9=4x+21, 2x+10=3-(6x+5y). 4. Прямая y=kx+b проходит через точки А(3; 8) и В(-4; 1). Напишите уравнение этой прямой. 5. Выясните, имеет ли решение система: {3x-2y=7, 6x-4y=1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• 1. Решение системы уравнений:
  Исходная система:
  • 4x + y = 3
  • 6x - 2y = 1
  Умножим первое уравнение на 2:
  • 8x + 2y = 6
  • 6x - 2y = 1
  Сложим уравнения:
  • (8x + 2y) + (6x - 2y) = 6 + 1
  • 14x = 7
  • x = 7 / 14 = 0.5
  Подставим x = 0.5 в первое уравнение:
  • 4(0.5) + y = 3
  • 2 + y = 3
  • y = 3 - 2 = 1
  Ответ: x = 0.5, y = 1
• 2. Задача с облигациями:
  Пусть x - количество облигаций по 2000 р., а y - количество облигаций по 3000 р.
  Составляем систему уравнений:
  
  • x + y = 8 (общее количество облигаций)
  • 2000x + 3000y = 19000 (общая стоимость)
  Упростим второе уравнение, разделив на 1000:
  
  • 2x + 3y = 19
  Из первого уравнения выразим x:
  • x = 8 - y
  Подставим во второе уравнение:
  
  • 2(8 - y) + 3y = 19
  • 16 - 2y + 3y = 19
  • 16 + y = 19
  • y = 19 - 16 = 3
  Найдем x:
  • x = 8 - y = 8 - 3 = 5
  Ответ: 5 облигаций по 2000 р. и 3 облигации по 3000 р.
• 3. Решение системы уравнений:
  Исходная система:
  
  • 2(3x + 2y) + 9 = 4x + 21
  • 2x + 10 = 3 - (6x + 5y)
  Упростим первое уравнение:
  
  • 6x + 4y + 9 = 4x + 21
  • 6x - 4x + 4y = 21 - 9
  • 2x + 4y = 12
  • x + 2y = 6
  Упростим второе уравнение:
  
  • 2x + 10 = 3 - 6x - 5y
  • 2x + 6x + 5y = 3 - 10
  • 8x + 5y = -7
  Теперь решаем систему:
  
  • x + 2y = 6
  • 8x + 5y = -7
  Из первого уравнения выразим x:
  
  • x = 6 - 2y
  Подставим во второе уравнение:
  
  • 8(6 - 2y) + 5y = -7
  • 48 - 16y + 5y = -7
  • 48 - 11y = -7
  • -11y = -7 - 48
  • -11y = -55
  • y = -55 / -11 = 5
  Найдем x:
  
  • x = 6 - 2y = 6 - 2(5) = 6 - 10 = -4
  Ответ: x = -4, y = 5
• 4. Уравнение прямой:
  Прямая проходит через точки А(3; 8) и В(-4; 1).
  Уравнение прямой имеет вид y = kx + b.
  Найдем коэффициент k (угловой коэффициент):
  
  • k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
  • k = (1 - 8) / (-4 - 3)
  • k = -7 / -7 = 1
  Теперь уравнение прямой: y = 1x + b, или y = x + b.
  Подставим координаты точки А(3; 8) для нахождения b:
  
  • 8 = 3 + b
  • b = 8 - 3 = 5
  Ответ: y = x + 5
• 5. Исследование системы на наличие решения:
  Система уравнений:
  
  • 3x - 2y = 7
  • 6x - 4y = 1
  Чтобы выяснить, имеет ли система решение, сравним коэффициенты при x и y.
  Разделим коэффициенты второго уравнения на соответствующие коэффициенты первого уравнения:
  
  • 6x / 3x = 2
  • -4y / -2y = 2
  Коэффициенты при x и y пропорциональны (отношение равно 2), но свободные члены не пропорциональны:
  
  • 1 / 7 ≠ 2
  Так как отношения коэффициентов при переменных равны, а отношение свободных членов отличается, данная система не имеет решений (является несовместной).
  Ответ: Система не имеет решений.