Вариант 1. 1. Решите уравнение: а) 5x − 3 = 2x + 9; б) x² − 4x + 3 = 0; в) (x + 2)/(x − 1) = 3; г) x/(x − 2) + 2/(x − 2) = 1. 2. Решите иррациональное уравнение: √(15 − 2x) = 3. 3. Решите уравнение: x⁴ − 19x² + 48 = 0. 4. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине её можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй.

1. Решите уравнения.

1. а) Переносим слагаемые с x влево, числа вправо: 5x − 2x = 9 + 3, откуда 3x = 12 и x = 4.
2. б) Разложим квадратный трёхчлен на множители: (x − 1)(x − 3) = 0. Поэтому x = 1 или x = 3.
3. в) Ограничение: x ≠ 1. Умножаем на x − 1: x + 2 = 3(x − 1), откуда 2x = 5 и x = 5/2.
4. г) Ограничение: x ≠ 2. Объединяем дроби: (x + 2)/(x − 2) = 1. Тогда x + 2 = x − 2, что невозможно. Корней нет.

2. Область допустимых значений: 15 − 2x ≥ 0. Возводим обе части в квадрат: 15 − 2x = 9, откуда x = 3. Проверка: √(15 − 2·3) = √9 = 3. Ответ: x = 3.

3. Сделаем замену y = x². Тогда y² − 19y + 48 = 0 = (y − 16)(y − 3), поэтому y = 16 или y = 3. Возвращаемся к x: x² = 16 или x² = 3. Ответ: x = −4, −√3, √3, 4.

4. Пусть первая машина делает пакет за x минут. Тогда вторая — за x + 15 минут. Их производительности равны 1/x и 1/(x + 15) пакета в минуту, а вместе они делают 1/10 пакета в минуту:

1/x + 1/(x + 15) = 1/10.

Умножаем на 10x(x + 15): 10(x + 15) + 10x = x(x + 15). Получаем x² − 5x − 150 = 0, откуда (x − 15)(x + 10) = 0. Отрицательное значение x = −10 не подходит, поэтому первая машина выполняет работу за 15 минут, а вторая — за 15 + 15 = 30 минут.

Ответ: первая машина — за 15 минут, вторая — за 30 минут.