Вариант 1. 1. Решите уравнение: а) \(x^3-81x=0\); б) \(\frac{x^2+1}{6}-\frac{x+1}{4}=1\). 2. Решите биквадратное уравнение \(x^4-19x^2+48=0\). 3. При каких \(a\) значение дроби \(\frac{a^3-2a^2-9a+18}{a^2-4}\) равно нулю? 4. Решите уравнение: а) \(\frac{3y+2}{4y^2+y}+\frac{y-3}{16y^2-1}=\frac{3}{4y-1}\); б) \((x^2+3x+1)(x^2+3x-9)=171\). 5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций \(y=\frac{x^3}{x-2}\) и \(y=x^2-3x+1\).

а) \(x^3-81x=x(x-9)(x+9)=0\), поэтому \(x=-9,0,9\).

б) Умножим уравнение на 12: \(2(x^2+1)-3(x+1)=12\), откуда \(2x^2-3x-13=0\). Тогда \(D=113\), и \(x=\frac{3\pm\sqrt{113}}{4}\).

Пусть \(t=x^2\). Тогда \(t^2-19t+48=0=(t-16)(t-3)\), значит \(x^2=16\) или \(x^2=3\).

Ответ: \(x=-4,-\sqrt3,\sqrt3,4\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\(a^3-2a^2-9a+18=(a-2)(a-3)(a+3)\), а \(a^2-4=(a-2)(a+2)\). Следовательно, \(a=2,3,-3\) — возможные нули числителя, но \(a=2\) не входит в область определения.

Ответ: \(a=-3,3\).

а) Ограничения: \(y\ne0,\;y\ne\frac14,\;y\ne-\frac14\). Умножая на общий знаменатель \(y(4y-1)(4y+1)\), получаем:

\((3y+2)(4y-1)+y(y-3)=3y(4y+1)\), откуда \(y^2+2y-2=0\). Поэтому \(y=-1\pm\sqrt3\); оба значения допустимы.

б) Положим \(t=x^2+3x\). Тогда \((t+1)(t-9)=171\), то есть \(t^2-8t-180=0\), откуда \(t=18\) или \(t=-10\). При \(t=18\): \(x^2+3x-18=0\), поэтому \(x=3,-6\). При \(t=-10\) уравнение \(x^2+3x+10=0\) не имеет действительных корней.

Ответ: а) \(y=-1\pm\sqrt3\); б) \(x=-6,3\).

Для первой функции \(x\ne2\). Приравняем выражения:

\(\frac{x^3}{x-2}=x^2-3x+1\Rightarrow x^3=(x-2)(x^2-3x+1)\Rightarrow 5x^2-7x+2=0\).

\((5x-2)(x-1)=0\), поэтому \(x=\frac25\) или \(x=1\). Подстановка во вторую функцию даёт соответственно \(y=-\frac1{25}\) и \(y=-1\).

Ответ: точки пересечения \((\frac25,-\frac1{25})\) и \((1,-1)\).