Вариант 1. 1. Решите уравнение: а) x³ − 81x = 0; б) (x² + 1)/5 − (x + 1)/4 = 1. 2. Решите биквадратное уравнение x⁴ − 19x² + 48 = 0. 3. При каких a значение дроби (a³ − 2a² − 9a + 18)/(a² − 4) равно нулю? 4. Решите уравнение: а) (3y + 2)/(4y² + y) + (y − 3)/(16y³ − 1) = 3/(4y − 1); б) (x² + 3x + 1)(x² + 3x − 9) = 171. 5. Найдите координаты точек пересечения графиков функций y = x²/(x − 2) и y = x² − 3x + 1.

1а. Вынесем x за скобки: x(x² − 81) = x(x − 9)(x + 9) = 0. Ответ: x = −9, 0, 9.

1б. Умножим уравнение на 20: 4(x² + 1) − 5(x + 1) = 20; 4x² − 5x − 21 = 0. Корни: x = 3 и x = −7/4.

2. Положим t = x². Тогда t² − 19t + 48 = 0 = (t − 16)(t − 3). Так как t = x² ≥ 0, получаем x = ±4, ±√3.

3. Числитель раскладывается: a³ − 2a² − 9a + 18 = (a − 2)(a − 3)(a + 3), знаменатель: (a − 2)(a + 2). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому a = 3 или a = −3; значения a = ±2 исключены из области определения. Ответ: a = −3, 3.

4а. Область допустимых значений: y ≠ 0, −1/4, 1/4. После умножения на общий знаменатель получаем кубическое уравнение 132y³ − 35y² − 9y − 2 = 0. Его единственный действительный корень приблизительно равен y ≈ 0.536. Ответ: y ≈ 0.536.

4б. Обозначим t = x² + 3x. Тогда (t + 1)(t − 9) = 171, откуда t² − 8t − 180 = 0; t = 18 или t = −10. При t = 18: x² + 3x − 18 = 0, поэтому x = 3 или −6. При t = −10: x² + 3x + 10 = 0, действительных корней нет. Ответ: x = −6, 3.

5. Область определения: x ≠ 2. Приравняем функции и умножим на x − 2: x² = (x − 2)(x² − 3x + 1), откуда x³ − 6x² + 7x − 2 = 0. Разложение: (x − 1)(x² − 5x + 2) = 0. Следовательно, x = 1 или x = (5 ± √17)/2. Подставляя эти значения в y = x² − 3x + 1, получаем точки пересечения: (1; −1), ((5 + √17)/2; (9 + √17)/2), ((5 − √17)/2; (9 − √17)/2).