Вариант 1. 1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на пяти свободных местах? 2. Сколько трёхзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9? 3. Победителю конкурса разрешается выбрать две книги из 10 различных в подарок. Сколькими способами он может сделать выбор? 4. В ящике находятся шары с номерами от 1 до 25. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер будет простым числом? 5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить 3 мальчиков и 2 девочек для работы на пришкольном участке. Сколькими способами это можно сделать? 6. На четырёх карточках написаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перемешали и переложили. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность, что в результате получится число, больше 7000?

1. Пять человек можно переставить на пяти местах числом способов, равным числу перестановок пяти элементов:

   \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\).

2. Для первой цифры есть 5 вариантов, для второй — 4 оставшихся, для третьей — 3 оставшихся. По правилу произведения:

   \(5\cdot4\cdot3=60\).

3. Порядок выбора книг не важен, поэтому используем число сочетаний:

   \(C_{10}^{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45\).

4. Простые числа от 1 до 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 — всего 9. Всего шаров 25, поэтому вероятность равна \(\frac{9}{25}\).

5. Мальчиков можно выбрать \(C_8^3=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56\) способами, девочек — \(C_5^2=10\) способами. Выборы независимы, значит:

   \(56\cdot10=560\).

6. Всего перестановок четырёх цифр: \(4!=24\). Чтобы число было больше 7000, первой должна стоять цифра 7. Оставшиеся цифры можно расположить \(3!=6\) способами. Вероятность:

   \(\frac{6}{24}=\frac14\).

Ответ: 1) 120; 2) 60; 3) 45; 4) \(\frac{9}{25}\); 5) 560; 6) \(\frac14\).