Вариант 1. 1. Сколькими способами можно поставить в очереди 8 людей? 2. Посчитать факториал: а) 5!; б) 12!; в) 10!/4!; г) 9!/(3!·4!). 3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

1. В очереди порядок людей важен, поэтому число способов равно числу перестановок из 8 человек: \(8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40\,320\).

2. Вычислим факториалы и сократим дроби:

   1. \(5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120\).
   2. \(12! = 479\,001\,600\).
   3. \(\dfrac{10!}{4!} = 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6 = 30\,240\).
   4. \(\dfrac{9!}{3!\cdot4!} = \dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 2\,520\).

3. Порядок выбора деталей не важен, поэтому используем число сочетаний:

   \(C_{15}^{4} = \dfrac{15!}{4!\cdot11!} = \dfrac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 1\,365\).

Ответ: 1) 40 320 способов; 2) а) 120, б) 479 001 600, в) 30 240, г) 2 520; 3) 1 365 способов.