Вариант 1. 1. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2160°? 2. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет две пары равных между собой смежных сторон: AB = AD, BC = CD, O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Сравните периметры четырёхугольников ABCD и AOCD.

1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \((n-2)\cdot180^\circ\).

\((n-2)\cdot180^\circ=2160^\circ\), поэтому \(n-2=12\), откуда \(n=14\).

Ответ: 14 сторон.

2. Из равенств \(AB=AD\) и \(BC=CD\) следует, что точки A и C равноудалены от B и D. Значит, обе лежат на серединном перпендикуляре к BD, поэтому прямая AC — этот серединный перпендикуляр. Следовательно, \(AC\perp BD\), а точка O — середина BD: \(BO=OD\).

Периметры:

\(P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA\),

\(P_{AOCD}=AO+OC+CD+DA\).

Так как \(AO+OC=AC\), разность равна \(P_{ABCD}-P_{AOCD}=AB+BC-AC\). В треугольнике ABC по неравенству треугольника \(AB+BC>AC\).

Ответ: \(P_{ABCD}>P_{AOCD}\).