Вариант 1. 1. Сократите дроби: а) 14a⁴b/(49a³b²); б) 3x/(x²+4x); в) (y²−z²)/(2y+2z). 2. Представьте в виде дроби: а) (42x⁵/y⁴)·(y²/14x⁵); б) (63a³b/c):(18a²b); в) (4a²−1)/(a²−9):(6a+3)/(a+3). 3. Упростите выражение: (2xy²/(5p²))². 4. Упростите выражение: 3/(x−3)−(x+15)/(x²−9)−2/x. 5. Представьте в виде дроби: (3x+y)/y·(y/x−3y/(3x+y)).

1.

1. а) Сократим общие множители: \(\frac{14a^4b}{49a^3b^2}=\frac{2a}{7b}\).
2. б) Разложим знаменатель: \(x^2+4x=x(x+4)\). Тогда \(\frac{3x}{x(x+4)}=\frac{3}{x+4}\).
3. в) Используем разность квадратов и сокращаем: \(\frac{y^2-z^2}{2y+2z}=\frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)}=\frac{y-z}{2}\).

Ограничения исходных дробей: в а) \(a\ne0, b\ne0\); в б) \(x\ne0,-4\); в в) \(y+z\ne0\).

2.

1. а) \(\frac{42x^5}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^5}=3\cdot\frac{1}{y^2}=\frac{3}{y^2}\).
2. б) Деление заменяем умножением на обратную дробь: \(\frac{63a^3b}{c}:18a^2b=\frac{63a^3b}{18a^2bc}=\frac{7a}{2c}\).
3. в) Разложим на множители: \(4a^2-1=(2a-1)(2a+1)\), \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), \(6a+3=3(2a+1)\). Тогда
   \(\frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3}=\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)}\cdot\frac{a+3}{3(2a+1)}=\frac{2a-1}{3(a-3)}\).

Ограничения: в а) \(y\ne0, x\ne0\); в б) \(a\ne0, b\ne0, c\ne0\); в в) \(a\ne3,-3,-\frac12\).

3. Возводим в квадрат числитель и знаменатель: \(\left(\frac{2xy^2}{5p^2}\right)^2=\frac{4x^2y^4}{25p^4}\), где \(p\ne0\).

4. Разложим знаменатель второй дроби: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Общий знаменатель — \(x(x-3)(x+3)\):
\(\frac{3}{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac{2}{x}=\frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)}\).
Числитель: \(3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18=18-6x=-6(x-3)\).
Сокращаем: \(\frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)}=-\frac{6}{x(x+3)}\). Ограничения: \(x\ne0,3,-3\).

5. Приведём выражение в скобках к общей дроби:
\(\frac{y}{x}-\frac{3y}{3x+y}=\frac{y(3x+y)-3xy}{x(3x+y)}=\frac{y^2}{x(3x+y)}\).
Умножаем на первую дробь и сокращаем: \(\frac{3x+y}{y}\cdot\frac{y^2}{x(3x+y)}=\frac{y}{x}\).