Вариант 1. 1. Сократите дроби: а) \(\frac{14a^4b}{49a^3b^2}\); б) \(\frac{3x}{x^2+4x}\); в) \(\frac{y^2-z^2}{2y+2z}\). 2. Представьте в виде дроби: а) \(\frac{3x-1}{x^2}+\frac{x-9}{3x}\); б) \(\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}\); в) \(\frac{5}{c+3}-\frac{5c-2}{c^2+3c}\). 3. Найдите значение выражения \(\frac{a^2-b}{a}-a\) при \(a=0,2\), \(b=-5\). 4. Упростите выражение \(\frac{3}{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac{2}{x}\). 5. При каких целых значениях \(a\) является целым числом значение выражения \(\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}\)?

а) \(\frac{14a^4b}{49a^3b^2}=\frac{2a}{7b}\), сокращаем на \(7a^3b\).

б) \(\frac{3x}{x^2+4x}=\frac{3x}{x(x+4)}=\frac{3}{x+4}\).

в) \(\frac{y^2-z^2}{2y+2z}=\frac{(y-z)(y+z)}{2(y+z)}=\frac{y-z}{2}\).

В исходных дробях знаменатели не должны быть равны нулю; также исключаем значения, при которых сокращаемый множитель равен нулю.

а) \(\frac{3x-1}{x^2}+\frac{x-9}{3x}=\frac{3(3x-1)+x(x-9)}{3x^2}=\frac{3x^2-1}{3x^2}\).

б) \(\frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}=\frac{(2a+b)-(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)}=\frac{2b}{4a^2-b^2}\).

в) \(\frac{5}{c+3}-\frac{5c-2}{c^2+3c}=\frac{5c-(5c-2)}{c(c+3)}=\frac{2}{c(c+3)}\).

\(\frac{a^2-b}{a}-a=a-\frac{b}{a}-a=-\frac{b}{a}\). Подставляем: \(-\frac{-5}{0.2}=25\).

Ответ: 25.

Разложим знаменатель: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Тогда

\(\frac{3}{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac{2}{x}=\frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9)}{x(x-3)(x+3)}\).

Числитель: \(3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18=18-6x=-6(x-3)\). Сокращаем:

\(\frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)}=-\frac{6}{x(x+3)}\), где \(x\ne -3,0,3\).

Ответ: \(-\frac{6}{x(x+3)}\), при \(x\ne -3,0,3\).

\(\frac{(a+1)^2-6a+4}{a}=\frac{a^2-4a+5}{a}=a-4+\frac{5}{a}\), где \(a\ne0\).

Для целого \(a\) выражение целое тогда и только тогда, когда \(5/a\) целое, то есть \(a\) — целый делитель числа 5.

Ответ: \(a\in\{-5,-1,1,5\}\).