Вариант 1. 1. Сократите дроби: а) \(\frac{21a^3b}{35a^2b^5}\); б) \(\frac{4x^2-20x}{20x}\); в) \(\frac{x^2-49}{2x+14}\). 2. Выполните действие: а) \(\frac{y-5}{3y}+\frac{y+15}{9y}\); б) \(\frac{1}{m-6}-\frac{1}{m+6}\). 3. Упростите выражение \(5x+\frac{7y-30x^2}{6x}\) и найдите его значение при \(x=-\frac73\), \(y=15\). 4. Упростите выражение \(4-\frac{4x-5}{x^2+2x+1}-\frac{4x}{x+1}\).

1.

1. а) Разложим коэффициенты и степени на общие множители и сократим: \(\frac{21a^3b}{35a^2b^5}=\frac{3a}{5b^4}\). Ограничения исходной дроби: \(a\ne0\), \(b\ne0\).
2. б) Вынесем общий множитель в числителе: \(\frac{4x^2-20x}{20x}=\frac{4x(x-5)}{20x}=\frac{x-5}{5}\), \(x\ne0\).
3. в) Разложим на множители и сократим: \(\frac{x^2-49}{2x+14}=\frac{(x-7)(x+7)}{2(x+7)}=\frac{x-7}{2}\), \(x\ne-7\).

2.

1. а) Приведём к знаменателю \(9y\): \(\frac{y-5}{3y}+\frac{y+15}{9y}=\frac{3(y-5)+(y+15)}{9y}=\frac{4y}{9y}=\frac49\), \(y\ne0\).
2. б) Приведём к общему знаменателю: \(\frac{1}{m-6}-\frac{1}{m+6}=\frac{(m+6)-(m-6)}{(m-6)(m+6)}=\frac{12}{m^2-36}\), \(m\ne\pm6\).

3. Упростим дробную часть: \(5x+\frac{7y-30x^2}{6x}=5x+\frac{7y}{6x}-5x=\frac{7y}{6x}\), \(x\ne0\). Подставим значения: \(\frac{7\cdot15}{6\cdot(-7/3)}=\frac{105}{-14}=-\frac{15}{2}\).

Ответ: \(-\frac{15}{2}\).

4. Так как \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), приведём дроби к общему знаменателю \((x+1)^2\): \(4-\frac{4x-5}{(x+1)^2}-\frac{4x}{x+1}=\frac{4(x+1)^2-(4x-5)-4x(x+1)}{(x+1)^2}\). Числитель равен \(4x^2+8x+4-4x+5-4x^2-4x=9\). Следовательно, выражение равно \(\frac{9}{(x+1)^2}\), \(x\ne-1\).

Ответ: \(\frac{9}{(x+1)^2}\).