Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант 1. 1. Сравните числа: 3^1,7 и 3^2,1. Обоснуйте, используя свойство монотонности. 2. Определите, возрастает или…Фото задания

Ответ:

  1. Основание 3 больше 1, поэтому функция 3x возрастает. Так как 1,7<2,1, то 31,7<32,1.

  2. Поскольку 0<1/5<1, функция y=(1/5)x убывает.

    Область определения: \(D(y)=\mathbb{R}\). Значения функции положительны: \(E(y)=(0;+\infty)\).

  3. Подставим заданные значения x:

    \(y(-3)=2^{-3}=\frac{1}{8}\); \(y(0)=2^0=1\).

  4. Это график \(y=3^x\), сдвинутый на 2 единицы вправо и на 1 вверх. Функция возрастает, горизонтальная асимптота: \(y=1\). Для построения подходят точки \((1;\frac{4}{3})\), \((2;2)\), \((3;4)\).

  5. Так как 0<1/3<1, функция убывает. На отрезке [-2;1] наибольшее значение достигается при x=-2, наименьшее — при x=1:

    \(y(-2)=(1/3)^{-2}=9\); \(y(1)=1/3\).

    Наибольшее значение — 9, наименьшее — 1/3.

    1. \(4^x=64=4^3\), следовательно, \(x=3\).

    2. Положим \(t=3^x\), где \(t>0\). Тогда \(9^x=t^2\), и уравнение принимает вид:

      \(t^2-4t+3=0\); \((t-1)(t-3)=0\).

      Получаем \(t=1\) или \(t=3\). Поэтому \(3^x=1\Rightarrow x=0\), либо \(3^x=3\Rightarrow x=1\).

      Ответ: а) 3; б) 0 и 1.

    1. \(1/8=(1/2)^3\). Основание 1/2 меньше 1, поэтому при сравнении степеней знак неравенства меняется: \((1/2)^x<(1/2)^3\Rightarrow x>3\).

    2. Вынесем общую степень:

      \(2^{x+1}-2^{x-1}=(4-1)2^{x-1}=3\cdot2^{x-1}\).

      Тогда \(3\cdot2^{x-1}\le20\Rightarrow 2^{x-1}\le20/3\). Функция 2x возрастает, значит \(x-1\le\log_2(20/3)\), откуда \(x\le1+\log_2(20/3)\).

    3. Положим \(t=2^x\), где \(t>0\). Тогда \(4^x=t^2\):

      \(t^2-5t+4>0\Rightarrow(t-1)(t-4)>0\).

      С учётом \(t>0\): \(0<t<1\) или \(t>4\). Следовательно, \(x<0\) или \(x>2\).

      Ответ: в) \(x>3\); г) \(x\le1+\log_2(20/3)\); д) \(x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\).