Вариант 1. 1. Сторона прямоугольника 4 см и образует с диагональю угол 60°. Найдите эту диагональ. 2. Сторона ромба равна одной из его диагоналей. Чему равен угол между стороной и другой диагональю ромба? 3. Найти меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 24 см и 18 см, если один из углов равен 45°. 4. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. Найдите периметр KMNP, если ME = 10 см, EN = 6 см.

1. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, а сторона 4 см прилежит к углу 60°.

   \(\cos 60^\circ=\frac{4}{d}\), поэтому \(d=\frac{4}{0.5}=8\) см.

2. Диагональ ромба, равная стороне, вместе с двумя сторонами образует равносторонний треугольник. Поэтому угол между этой диагональю и стороной равен 60°, а угол ромба при этой вершине — 120°. Другая диагональ делит соседний угол 60° пополам.

   Следовательно, угол между стороной и другой диагональю равен \(60^\circ:2=30^\circ\).

3. Разность оснований равна \(24-18=6\) см. В прямоугольной трапеции горизонтальная проекция наклонной боковой стороны равна этой разности. При угле 45° образуется прямоугольный равнобедренный треугольник, поэтому высота также равна 6 см.

   Меньшая боковая сторона — высота: 6 см.

4. В треугольнике KME биссектриса угла при K даёт равенство углов \(MKE=EKM\). Так как \(E\) лежит на MN, а MN параллельна KP, из параллельности следует \(\angle KEM=\angle EKP\). Значит, треугольник KME равнобедренный и \(KM=ME=10\) см.

   \(MN=ME+EN=10+6=16\) см. Противоположные стороны параллелограмма равны: \(KP=MN=16\) см и \(NP=KM=10\) см.

   Периметр: \(P=2(10+16)=52\) см.

Ответ: 1) 8 см; 2) 30°; 3) 6 см; 4) 52 см.