Вариант 1. 1. Угол AOB равен 110°. Внутри этого угла проведён луч OC так, что ∠AOC = 30°. Найдите угол между биссектрисами углов AOC и COB. 2. Прямой угол разделён лучом, исходящим из его вершины, на два угла, таких, что половина одного угла равна трети другого. Найдите эти углы.

1. Так как луч OC лежит внутри угла AOB, то ∠COB = 110° − 30° = 80°.

Биссектриса угла AOC образует с лучом OC угол 30° ÷ 2 = 15°. Биссектриса угла COB образует с лучом OC угол 80° ÷ 2 = 40°. Эти биссектрисы лежат по разные стороны от OC, поэтому угол между ними равен 15° + 40° = 55°.

Ответ: 55°.

2. Пусть углы равны x и y. Их сумма равна 90°. По условию половина одного равна трети другого: x/2 = y/3. Отсюда 3x = 2y, то есть y = 3x/2.

Подставим в сумму: x + 3x/2 = 90°, откуда 5x/2 = 90° и x = 36°. Тогда y = 90° − 36° = 54°.

Ответ: 36° и 54°.