Вариант 1. 1. Угол ромба равен 60 градусов. Найдите углы, которые образует его сторона с диагоналями. 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. М — середина ВО, Р — середина ДО. Докажите, что АМСР — параллелограмм. 3. Биссектрисы прямоугольного треугольника делят его сторону на три части, каждая из которых равна 3 см. Найдите периметр прямоугольника. Сколько решений имеет задача?

1. Диагональ ромба делит угол при своей вершине пополам. Поэтому угол между стороной и диагональю, проведённой из вершины угла 60°, равен 30°. Соседний угол ромба равен 120°, и другая диагональ делит его пополам: угол между стороной и этой диагональю равен 60°.

Ответ: 30° и 60°.

2. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому точка O — середина AC. По условию M — середина BO, а P — середина DO.

В треугольнике BOD отрезок MP соединяет середины сторон BO и DO, значит, MP ∥ BD и MP = BD/2. Так как O — середина BD, то BD/2 = BO. Кроме того, AO = OC и BO = DO. Из расположения точек следует, что AM ∥ CP и AM = CP; следовательно, противоположные стороны четырёхугольника AMCP попарно параллельны. Значит, AMCP — параллелограмм.

3. Условие задаёт лишь одну сторону прямоугольника: её длина равна 3 + 3 + 3 = 9 см. Длина другой стороны не указана и может быть любой положительной величиной x. Тогда периметр равен 2(9 + x) см. Поэтому единственного числового значения периметра нет; возможны бесконечно многие значения.

Ответ: определить периметр однозначно нельзя; задача имеет бесконечно много решений.