Вариант 1. 1. Укажите график функции \(y=\sqrt{x}+2\). 2. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) \(x^2-14x+45\); б) \(3x^2+7x-6\). 3. Сократите дробь \(\frac{3x^2+x-2}{4-9x^2}\). 4. Найдите наименьшее значение функции \(y=x^2-8x+7\). 5. Постройте график функции \(y=x^2-6x+5\). Найдите с помощью графика функции: а) промежутки, в которых \(y<0\); б) промежуток, на котором функция возрастает.

График начинается в точке \((0;2)\) и возрастает, поэтому подходит график А.

а) Подбираем два числа с произведением 45 и суммой 14: \(5\) и \(9\).

\(x^2-14x+45=(x-5)(x-9)\).

б) Разложение на множители:

\(3x^2+7x-6=(3x-2)(x+3)\).

Раскладываем числитель и знаменатель на множители:

\(\frac{3x^2+x-2}{4-9x^2}=\frac{(3x-2)(x+1)}{(2-3x)(2+3x)}=-\frac{(3x-2)(x+1)}{(3x-2)(3x+2)}\).

Сокращаем дробь. Ограничения исходной дроби: \(x\ne -\frac23\) и \(x\ne\frac23\).

Ответ: \(-\frac{x+1}{3x+2}\), где \(x\ne\pm\frac23\).

Выделяем квадрат двучлена:

\(y=x^2-8x+7=(x-4)^2-9\).

Так как \((x-4)^2\ge 0\), наименьшее значение функции равно \(-9\) и достигается при \(x=4\).

Ответ: \(-9\).

Выделяем квадрат двучлена: \(y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4\). Вершина параболы — \((3;-4)\), ветви направлены вверх. Нули: \((x-1)(x-5)=0\), поэтому \(x=1\) и \(x=5\).

а) Парабола расположена ниже оси \(x\) между нулями: \(1<x<5\).

б) Парабола возрастает справа от вершины: \(x\in(3; +\infty)\).