Вариант 1. 1. Упростить выражение: \((x-y)^2-x(x-2y)\). 2. Решить уравнение: \(\frac{5}{1-x}=\frac{4}{6-x}\). 3. Сократить дробь: \(\frac{x^2+xy}{x^2-y^2}\). 4. Решить систему уравнений: \(\begin{cases}x-1\le 2x+2,\\3x+5\le x+1.\end{cases}\) 5. Построить график функции: \(y=-x^2+6x-5\). 6. Решить систему уравнений: \(\begin{cases}x-y=1,\\x^2-y=3.\end{cases}\) 7. Вычислить значение выражения: \(\frac{6^{-4}\cdot 6^{-9}}{6^{-12}}\).

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[ (x-y)^2-x(x-2y)=x^2-2xy+y^2-(x^2-2xy)=y^2. \]

Ответ: \(y^2\).

2. ОДЗ: \(x\ne1\), \(x\ne6\). Перемножим крест-накрест:

\[5(6-x)=4(1-x).\]

\[30-5x=4-4x,\qquad x=26.\]

Число \(26\) входит в ОДЗ.

Ответ: \(x=26\).

3. Разложим числитель и знаменатель на множители:

\[\frac{x^2+xy}{x^2-y^2}=\frac{x(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{x}{x-y}.\]

Ограничения: \(x\ne y\), \(x\ne -y\).

Ответ: \(\frac{x}{x-y}\).

4. Решим каждое неравенство:

\[x-1\le2x+2\Rightarrow -3\le x.\]

\[3x+5\le x+1\Rightarrow2x\le-4\Rightarrow x\le-2.\]

Пересечение решений: \([-3;-2]\).

Ответ: \(x\in[-3;-2]\).

5. Преобразуем функцию:

\[y=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4.\]

График — парабола с ветвями вниз, вершиной \((3;4)\), осью симметрии \(x=3\). Нули функции:

\[-x^2+6x-5=0\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow x=1\text{ или }x=5.\]

Точки для построения: \((1;0)\), \((2;3)\), \((3;4)\), \((4;3)\), \((5;0)\).

Ответ: парабола \(y=-(x-3)^2+4\) с вершиной \((3;4)\).

6. Из первого уравнения: \(x=y+1\). Подставим во второе:

\[(y+1)^2-y=3\Rightarrow y^2+y-2=0.\]

\[(y-1)(y+2)=0,\qquad y=1\text{ или }y=-2.\]

Тогда \(x=2\) или \(x=-1\).

Ответ: \((2;1)\), \((-1;-2)\).

7. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются:

\[\frac{6^{-4}\cdot6^{-9}}{6^{-12}}=6^{-4-9-(-12)}=6^{-1}=\frac16.\]

Ответ: \(\frac16\).