Вариант 1. 1. Упростите выражение: а) 10√3 − 4√48 − √75; б) (5√2 − √18)√2; в) (3 − √2)². 2. Сравните 7√(1/7) и (1/2)√20. 3. Сократите дробь: а) (6 + √6)/(√30 + √5); б) (9 − a)/(3 + √a). 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) 1/(2√5); б) 8/(√7 − 1). 5. Докажите, что значение выражения 1/(2√3 + 1) − 1/(2√3 − 1) есть число рациональное. 6. При каких значениях a дробь (√a − √5)/(a − 5) принимает наибольшее значение?

1. Упростим выражения.

а) \(10\sqrt3-4\sqrt{48}-\sqrt{75}=10\sqrt3-4\cdot4\sqrt3-5\sqrt3=-11\sqrt3\).

б) \((5\sqrt2-\sqrt{18})\sqrt2=(5\sqrt2-3\sqrt2)\sqrt2=4\).

в) \((3-\sqrt2)^2=9-6\sqrt2+2=11-6\sqrt2\).

2. \(7\sqrt{\frac17}=\sqrt7\), а \(\frac12\sqrt{20}=\sqrt5\). Поскольку \(7>5\), то \(\sqrt7>\sqrt5\).

3. Сократим дроби.

а) \(\sqrt{30}+\sqrt5=\sqrt5(\sqrt6+1)\), а \(6+\sqrt6=\sqrt6(\sqrt6+1)\). Поэтому \(\frac{6+\sqrt6}{\sqrt{30}+\sqrt5}=\frac{\sqrt6}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{30}}5\).

б) При \(a\geq0\): \(9-a=(3-\sqrt a)(3+\sqrt a)\), поэтому \(\frac{9-a}{3+\sqrt a}=3-\sqrt a\).

4. Умножим числитель и знаменатель на подходящий множитель.

а) \(\frac1{2\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{10}\).

б) \(\frac8{\sqrt7-1}\cdot\frac{\sqrt7+1}{\sqrt7+1}=\frac{8(\sqrt7+1)}{7-1}=\frac{4(\sqrt7+1)}3\).

5. Приведём к общему знаменателю, применив формулу разности квадратов:

\(\frac1{2\sqrt3+1}-\frac1{2\sqrt3-1}=\frac{(2\sqrt3-1)-(2\sqrt3+1)}{(2\sqrt3)^2-1}=\frac{-2}{11}\).

Получилось рациональное число, что и требовалось доказать.

6. Область допустимых значений: \(a\geq0\), \(a\ne5\). При этих значениях

\(\frac{\sqrt a-\sqrt5}{a-5}=\frac{1}{\sqrt a+\sqrt5}\).

Знаменатель возрастает при увеличении \(a\), поэтому дробь наибольшая при наименьшем допустимом значении \(a=0\). Тогда её значение равно \(\frac1{\sqrt5}\).

Ответ: наибольшее значение дробь принимает при \(a=0\).