Вариант 1. 1. Упростите выражение: а) \(\frac{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}}\); б) \(\frac{\sqrt[5]{y^4}-9}{\sqrt[5]{y^4}-3}\cdot\sqrt[5]{y^2}\). 2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\frac{10}{\sqrt[5]{8}}\); б) \(\frac{26}{6-\sqrt{7}}\); в) \(\frac{4}{1+\sqrt[4]{3}}\).

1а) Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при \(x\ne0\)):

\(\frac{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}}=\sqrt[6]{x}\). Для действительных корней исходное выражение определено при \(x>0\).

1б) В изображении знаменатель читается как \(\sqrt[5]{y^4}-3\), а после дроби стоит множитель \(\sqrt[5]{y^2}\). Объединим его с дробью:

\(\frac{\sqrt[5]{y^4}-9}{\sqrt[5]{y^4}-3}\cdot\sqrt[5]{y^2}=\frac{y^{4/5}-9}{y^{4/5}-3}\,y^{2/5}=\frac{y^{6/5}-9y^{2/5}}{y^{4/5}-3}\).

Условие определения: \(y^{4/5}\ne3\).

2а) Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt[5]{4}\), поскольку \(8\cdot4=32=2^5\):

\(\frac{10}{\sqrt[5]{8}}=\frac{10\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{32}}=\frac{10\sqrt[5]{4}}2=5\sqrt[5]{4}\).

2б) Умножим на сопряжённое выражение:

\(\frac{26}{6-\sqrt7}\cdot\frac{6+\sqrt7}{6+\sqrt7}=\frac{26(6+\sqrt7)}{36-7}=6+\sqrt7\).

2в) Обозначим \(r=\sqrt[4]{3}\). Используем равенство \((r+1)(r^3-r^2+r-1)=r^4-1=2\):

\(\frac4{1+r}=2(r^3-r^2+r-1)=2(\sqrt[4]{27}-\sqrt3+\sqrt[4]{3}-1)\).

Ответ: 1а) \(\sqrt[6]{x}\); 1б) \(\frac{y^{6/5}-9y^{2/5}}{y^{4/5}-3}\); 2а) \(5\sqrt[5]{4}\); 2б) \(6+\sqrt7\); 2в) \(2(\sqrt[4]{27}-\sqrt3+\sqrt[4]{3}-1)\).