Вариант 1. 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол BCD равен 106°. Найдите углы треугольника ABC. 2. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD этого треугольника. Найдите углы треугольника ADB, если угол CAB = 50°. 3. Величины углов треугольника относятся как 3:5:1. Найдите величины углов треугольника и укажите его вид по углам. 4. Сформулируйте теорему, обратную следующей.

Вариант 1.

1. 1. Нахождение углов треугольника ABC:

   
   

   Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Внешний угол BCD = \( \angle BAC + \angle ABC \).

   
   

   Так как \( ∠ BCD = 106^\circ \), то \( \angle BAC + \angle ABC = 106^\circ \).

   
   

   Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, следовательно, \( \angle BAC = \angle BCA \).

   
   

   Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ \).

   
   

   Заменим \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \) на \( x \), а \( \angle ABC \) на \( y \): \( x + y = 106^\circ \) и \( 2x + y = 180^\circ \).

   
   

   Из первого уравнения выразим \( y = 106^\circ - x \).

   
   

   Подставим во второе уравнение: \( 2x + (106^\circ - x) = 180^\circ \).

   
   

   \( x + 106^\circ = 180^\circ \).

   
   

   \( x = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ \).

   
   

   Значит, \( \angle BAC = \angle BCA = 74^\circ \).

   
   

   Теперь найдём \( \angle ABC \): \( y = 106^\circ - 74^\circ = 32^\circ \).

   
   

   Ответ: \( \angle BAC = 74^\circ, \angle BCA = 74^\circ, \angle ABC = 32^\circ \).




2. 2. Нахождение углов треугольника ADB:

   
   

   AD — биссектриса угла ABC, значит, делит его пополам: \( \angle CAD = \angle DAB = \frac{1}{2} \angle CAB \).

   
   

   В условии дано \( \angle CAB = 50^\circ \). Следовательно, \( \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ \).

   
   

   В треугольнике ADB известны два угла: \( \angle DAB = 25^\circ \) и \( \angle ABD \) (это угол ABC из предыдущего пункта, \( 32^\circ \)).

   
   

   Сумма углов в треугольнике ADB равна \( 180^\circ \): \( \angle ADB + \angle DAB + \angle ABD = 180^\circ \).

   
   

   \( \angle ADB + 25^\circ + 32^\circ = 180^\circ \).

   
   

   \( \angle ADB + 57^\circ = 180^\circ \).

   
   

   \( \angle ADB = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \).

   
   

   Ответ: \( \angle DAB = 25^\circ, \angle ABD = 32^\circ, \angle ADB = 123^\circ \).




3. 3. Нахождение углов треугольника по соотношению:

   
   

   Величины углов треугольника относятся как 3:5:1. Пусть углы равны \( 3x, 5x, 1x \).

   
   

   Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \( 3x + 5x + 1x = 180^\circ \).

   
   

   \( 9x = 180^\circ \).

   
   

   \( x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \).

   
   

   Углы треугольника: \( 3x = 3 · 20^\circ = 60^\circ \), \( 5x = 5 · 20^\circ = 100^\circ \), \( 1x = 1 · 20^\circ = 20^\circ \).

   
   

   Так как в треугольнике есть тупой угол (\( 100^\circ \)), он является тупоугольным.

   
   

   Ответ: углы треугольника равны \( 60^\circ, 100^\circ, 20^\circ \). Треугольник тупоугольный.




4. 4. Формулировка обратной теоремы:

   
   

   Исходная теорема (предполагаемая): Если треугольник равнобедренный, то его углы при основании равны.

   
   

   Обратная теорема: Если у треугольника углы при основании равны, то этот треугольник равнобедренный.