Вариант 1. 1. Вектором называется… 2. Векторы коллинеарные, если… 3. Средней линией трапеции называется… 4. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\). Постройте: а) \(2\vec{x}+\vec{y}\), б) \(2\vec{y}-\vec{x}\). 5. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 5 см, меньшее основание 12 см, острый угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции. 6. Найти координаты \(\overrightarrow{MP}\), если \(M(5; -7)\), \(P(-3; 4)\). 7. Найти координаты \(\vec{x}\), если \(\vec{x}=\frac{1}{5}\vec{a}-2\vec{b}+\vec{c}\), \(\vec{a}\{0; -5\}\), \(\vec{b}\{-1; 4\}\), \(\vec{c}\{-3; -6\}\). 8. \(A(-5; y)\), \(B(2; -1)\), \(\overrightarrow{AB}\{x; -2\}\). Найти \(x, y\).

1. Вектор — это направленный отрезок, имеющий начало и конец.

2. Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

3. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

4. Для построения возьмём неколлинеарные векторы \(\vec{x}=(3;0)\) и \(\vec{y}=(0;2)\). При сложении переносим следующий вектор так, чтобы его начало совпало с концом предыдущего; разность строим как сумму с противоположным вектором.

   а) \(2\vec{x}+\vec{y}=(6;0)+(0;2)=(6;2)\).

   б) \(2\vec{y}-\vec{x}=(-3;4)\).

5. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(5\cos 60°=2.5\) см. Поэтому большее основание равно \(12+2\cdot2.5=17\) см. Средняя линия равна полусумме оснований: \(m=\frac{12+17}{2}=14.5\) см.

6. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала:

   \(\overrightarrow{MP}=(-3-5;\ 4-(-7))=(-8;11)\).

7. Вычислим координаты покомпонентно:

   \(\vec{x}=\frac15(0;-5)-2(-1;4)+(-3;-6)=(0;-1)+(2;-8)+(-3;-6)=(-1;-15)\).

8. По формуле \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\): \(\overrightarrow{AB}=(2-(-5);-1-y)=(7;-1-y)\). Сравнивая с \((x;-2)\), получаем \(x=7\) и \(-1-y=-2\), откуда \(y=1\).

Ответ: 5) 14,5 см; 6) \((-8;11)\); 7) \((-1;-15)\); 8) \(x=7, y=1\).