Вариант № 1. 1. Выберите правильное продолжение решения: ∫x² dx = ? Варианты: а) x³/3 + C; б) [неразборчиво]; в) [неразборчиво]. 2. Интегрирование — это действие, обратное: а) вычитанию; б) дифференцированию; в) сложению. 3. Чему равен интеграл ∫10 sin x dx? Варианты: а) 5 cos x + C; б) 2 cos x + C; в) −10 cos x + C. 4. Написать правильное продолжение формулы: ∫dx/x = ? Варианты: а) 100πˣ + C; б) ln|x| + C; в) eˣ + C. 5. Определённый интеграл ∫₀² 3x² dx равен: а) 8; б) 100; в) −20.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Применяем степенное правило интегрирования: \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\). Поэтому \(\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C\). Правильный вариант — а).
Интегрирование восстанавливает функцию по её производной, поэтому это действие, обратное дифференцированию. Правильный вариант — б).
Так как производная \(\cos x\) равна \(-\sin x\), то \(\int 10\sin x\,dx=-10\cos x+C\). Правильный вариант — в).
По формуле первообразной \(\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\), при \(x\ne0\). Правильный вариант — б).
Первообразная функции \(3x^2\) — \(x^3\). Вычисляем: \(\int_0^2 3x^2\,dx=\left.x^3\right|_0^2=2^3-0^3=8\). Правильный вариант — а).

Ответ: