Вариант 1. 1) Вычислить: 1) sin15°; 2) sin15° sin15° − cos15° cos15°; 3) sin(π/12) cos(11π/12) + cos(π/12) sin(11π/12). 2) Упростите: sin(π/6 + α) + cos(π/3 + α). 3) Зная, что cos α = −5/13, π < α < 3π/2, найдите cos(π/4 − α).

1) Вычислим.

1. \(\sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\).
2. Используем формулу \(\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\):
   \(\sin^2 15^\circ-\cos^2 15^\circ=-\cos30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}\).
3. По формуле синуса суммы:
   \(\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{11\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{12}\sin\frac{11\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{11\pi}{12}\right)=\sin\pi=0\).

2) Упростим:

\(\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha\right)+\left(\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha\right)=\cos\alpha\).

3) Найдём \(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\).

Так как \(\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}\), угол \(\alpha\) находится в III четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).

\(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}\).

\(\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha\)

\(=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac5{13}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{17\sqrt2}{26}\).

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\); \(-\frac{\sqrt3}{2}\); \(0\). 2) \(\cos\alpha\). 3) \(-\frac{17\sqrt2}{26}\).