Вариант 1: 1. Вычислите: \( (-2,5 + 3 \frac{2}{3}) : (-2 \frac{11}{12}) \) 2. Решите уравнения: a) \( -1,8x + 2,5 = 0,7x + 10 \) б) \( -2 \frac{2}{3} x = 1 \frac{1}{9} \) 3. Найдите значение выражения \( 1,8 \cdot (4 - 2a) + 0,4a - 6,2 \), если \( a = \frac{5}{32} \). 4. Велосипедист проехал участок шоссе со скоростью 18 км/ч и участок проселочной дороги со скоростью 12 км/ч. Всего он проехал 78 км. Сколько времени велосипедист затратил на весь путь, если по проселочной дороге он ехал на 0,5 ч дольше, чем по шоссе?

Вариант 1:

1. Вычисление:

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

\( -2,5 = - \frac{5}{2} \)

\( 3 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3} \)

\( -2 \frac{11}{12} = - \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = - \frac{35}{12} \)

Теперь выполним сложение в первой скобке:

\( - \frac{5}{2} + \frac{11}{3} = - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 2} = - \frac{15}{6} + \frac{22}{6} = \frac{22 - 15}{6} = \frac{7}{6} \)

Теперь выполним деление:

\( \frac{7}{6} : (- \frac{35}{12}) = \frac{7}{6} \cdot (- \frac{12}{35}) = - \frac{7 \cdot 12}{6 \cdot 35} \)

Сократим дроби:

\( - \frac{7 \cdot (2 \cdot 6)}{6 \cdot (5 \cdot 7)} = - \frac{2}{5} \)

Ответ: \( -\frac{2}{5} \).

2. Решение уравнений:

а) \( -1,8x + 2,5 = 0,7x + 10 \)

1. Перенесём члены с \( x \) в левую часть, а свободные члены — в правую, изменив знаки:



\( -1,8x - 0,7x = 10 - 2,5 \)



2. Приведём подобные члены:



\( -2,5x = 7,5 \)



3. Разделим обе части на \( -2,5 \):



\( x = \frac{7,5}{-2,5} \)




\( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3 \).

б) \( -2 \frac{2}{3} x = 1 \frac{1}{9} \)

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:



\( -2 \frac{2}{3} = - \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = - \frac{8}{3} \)




\( 1 \frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9} \)



2. Уравнение принимает вид:



\( - \frac{8}{3} x = \frac{10}{9} \)



3. Разделим обе части на \( - \frac{8}{3} \) (или умножим на \( - \frac{3}{8} \)):



\( x = \frac{10}{9} \cdot (- \frac{3}{8}) \)



4. Сократим дроби:



\( x = - \frac{10 \cdot 3}{9 \cdot 8} = - \frac{(2 \cdot 5) \cdot 3}{(3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4)} = - \frac{5}{3 \cdot 4} = - \frac{5}{12} \)

Ответ: \( x = -\frac{5}{12} \).

3. Нахождение значения выражения:

Сначала упростим выражение:

\( 1,8 \cdot (4 - 2a) + 0,4a - 6,2 \)

Раскроем скобки:

\( 1,8 \cdot 4 - 1,8 \cdot 2a + 0,4a - 6,2 \)

\( 7,2 - 3,6a + 0,4a - 6,2 \)

Приведём подобные члены:

\( (7,2 - 6,2) + (-3,6a + 0,4a) \)

\( 1 + (-3,2a) = 1 - 3,2a \)

Теперь подставим значение \( a = \frac{5}{32} \):

\( 1 - 3,2 \cdot \frac{5}{32} \)

Преобразуем \( 3,2 \) в дробь:

\( 3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \)

Подставляем:

\( 1 - \frac{16}{5} \cdot \frac{5}{32} \)

Сократим дроби:

\( 1 - \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 32} = 1 - \frac{16}{32} = 1 - \frac{1}{2} \)

\( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \).

4. Задача про велосипедиста:

Пусть \( t_1 \) — время, затраченное на дорогу по шоссе (в часах), а \( t_2 \) — время, затраченное на дорогу по проселочной дороге (в часах).

Из условия задачи известно:

• Скорость по шоссе: \( v_1 = 18 \) км/ч.


• Скорость по проселочной дороге: \( v_2 = 12 \) км/ч.


• Общее расстояние: \( S = 78 \) км.


• По проселочной дороге ехал на \( 0,5 \) ч дольше, чем по шоссе: \( t_2 = t_1 + 0,5 \).

Формула расстояния: \( S = v \cdot t \).

Для каждого участка пути:

• \( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 18t_1 \)


• \( S_2 = v_2 \cdot t_2 = 12t_2 \)

Общее расстояние равно сумме расстояний по каждому участку: \( S_1 + S_2 = 78 \).

Подставим выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \):

\( 18t_1 + 12t_2 = 78 \)

Заменим \( t_2 \) на \( t_1 + 0,5 \):

\( 18t_1 + 12(t_1 + 0,5) = 78 \)

Раскроем скобки:

\( 18t_1 + 12t_1 + 12 \cdot 0,5 = 78 \)

\( 18t_1 + 12t_1 + 6 = 78 \)

Приведём подобные члены:

\( 30t_1 + 6 = 78 \)

Перенесём \( 6 \) в правую часть:

\( 30t_1 = 78 - 6 \)

\( 30t_1 = 72 \)

Найдем \( t_1 \):

\( t_1 = \frac{72}{30} = \frac{12}{5} = 2,4 \) часа.

Теперь найдем \( t_2 \):

\( t_2 = t_1 + 0,5 = 2,4 + 0,5 = 2,9 \) часа.

Общее время, затраченное на весь путь, равно \( t_1 + t_2 \):

\( 2,4 + 2,9 = 5,3 \) часа.

Ответ: 5,3 часа.