Вариант 1. 1. Вычислите: а) 6! + 7!; б) 20!/(16! · 4!). 2. Сократите дробь (n + 1)!/(n − 1)!. 3. Решите уравнение (2n − 3)! = 23(2n − 4)!, если n ∈ N.

а) Раскроем факториал 7!: \(6!+7!=6!+7\cdot6!=8\cdot6!=8\cdot720=5760\).

б) Сократим на 16! и вычислим биномиальный коэффициент: \(\frac{20!}{16!\cdot4!}=\frac{17\cdot18\cdot19\cdot20}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=4845\).

Ответ: а) 5760; б) 4845.

Раскроем числитель: \((n+1)!= (n+1)n(n-1)!\). Тогда \(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n(n+1)\).

Ответ: \(n(n+1)\).

Для существования факториалов необходимо \(2n-4\geq0\), то есть \(n\geq2\). Используем равенство \((2n-3)!=(2n-3)(2n-4)!\):

\((2n-3)(2n-4)!=23(2n-4)!\), поэтому \(2n-3=23\), откуда \(n=13\). Значение удовлетворяет условию.

Ответ: \(n=13\).