Вариант 1. 1. Выполните действия: 1) (a²b)/(12c) · (16c)/(ab²); 2) (28a/c³) : (4a²c); 3) ((6a−6b)/c²) · (4c⁶)/(a²−b²); 4) ((5x−10)/(2x+3)) : ((x²−4)/(4x+6). 2. Упростите выражение: 1) 5b/(b−3) − (b+6)/(2b−6) · 90/(b²+6b); 2) ((a−8)/(a+8) − (a+8)/(a−8)) : 16a/(64−a²). 3. Докажите тождество: (m/(m²−16m+64) − (m+4)/(m²−64)) : ((3m+8)/(m²−64)) = 4/(m−8). 4. Известно, что x² + 9/x² = 55. Найдите значение выражения x − 3/x.

1. Выполните действия

1. Сокращаем общие множители: \(\frac{a^2b}{12c}\cdot\frac{16c}{ab^2}=\frac{4a}{3b}\).

2. Деление заменяем умножением на обратное число: \(\frac{28a}{c^3}: (4a^2c)=\frac{28a}{4a^2c^4}=\frac{7}{ac^4}\).

3. Разложим на множители: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Тогда \(\frac{6(a-b)}{c^2}\cdot\frac{4c^6}{(a-b)(a+b)}=\frac{24c^4}{a+b}\).

4. Разложим числители и знаменатель: \(\frac{5(x-2)}{2x+3}\cdot\frac{2(2x+3)}{(x-2)(x+2)}=\frac{10}{x+2}\). Ограничения: \(x\ne-\frac32,\,-2,\,2\).

2. Упростите выражение

1. Сначала упростим произведение: \(\frac{b+6}{2(b-3)}\cdot\frac{90}{b(b+6)}=\frac{45}{b(b-3)}\). Поэтому \(\frac{5b}{b-3}-\frac{45}{b(b-3)}=\frac{5b^2-45}{b(b-3)}=\frac{5(b+3)}{b}\). Ограничения: \(b\ne3,0,-6\).

2. Разность в скобках: \(\frac{(a-8)^2-(a+8)^2}{a^2-64}=\frac{-32a}{a^2-64}=\frac{32a}{64-a^2}\). Далее \(\frac{32a}{64-a^2}:\frac{16a}{64-a^2}=2\). Ограничения: \(a\ne-8,0,8\).

3. Докажите тождество

Область допустимых значений: \(m\ne-8,8,-\frac83\). Преобразуем левую часть:

\(\left(\frac{m}{(m-8)^2}-\frac{m+4}{(m-8)(m+8)}\right):\frac{3m+8}{(m-8)(m+8)}\)

\(=\frac{m(m+8)-(m+4)(m-8)}{(m-8)^2(m+8)}\cdot\frac{(m-8)(m+8)}{3m+8}\)

\(=\frac{12m+32}{(m-8)^2(m+8)}\cdot\frac{(m-8)(m+8)}{3m+8}=\frac{4}{m-8}\).

Левая часть равна правой, тождество доказано.

4. \(\left(x-\frac3x\right)^2=x^2-6+\frac9{x^2}=55-6=49\). Следовательно, \(x-\frac3x=7\) или \(x-\frac3x=-7\): исходное условие не задаёт знак выражения однозначно.

Ответ: \(7\) или \(-7\).