Вариант 1. 1. Выполните действия: а) дробно-рациональное выражение с числителями и знаменателями, частично неразборчивыми на фотографии; б) дробно-рациональное выражение с неразборчивым показателем степени; в) \(\frac{5b-5c}{c}\cdot\frac{4c^2}{b^2-c^2}\); г) \(\frac{6x-30}{x+8}:\frac{x^2-25}{2x+16}\). 2. Упростите выражения: 1) выражение с неразборчивым знаменателем; 2) \(\left(\frac{c-1}{c+1}-\frac{c+1}{c-1}\right):\frac{2c}{1-c^2}\). 3. Постройте график функции \(y=\frac8x\). Какова область определения функции? При каких значениях \(x\) функция принимает отрицательные значения? 4. Упростите \(\left(\frac{a^3}{a^2-8a+16}-\frac{a^2}{a-4}\right):\left(\frac{a^2}{a^2-16}-\frac{a}{a-4}\right)\). 5. Известно, что \(x+\frac1x=6{,}5\). Найдите значение выражения \(x^2+\frac1{x^2}\).

В пунктах 1а, 1б и 2.1 часть записи неразборчива; для их решения нужны более чёткие фрагменты фотографии.

1в. Разложим разность квадратов: \(b^2-c^2=(b-c)(b+c)\). Тогда \(\frac{5(b-c)}{c}\cdot\frac{4c^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{20c}{b+c}\).

1г. Учитываем, что \(2x+16=2(x+8)\): \(\frac{6(x-5)}{x+8}\cdot\frac{2(x+8)}{(x-5)(x+5)}=\frac{12}{x+5}\). Ограничения исходного выражения: \(x\ne-8,\,5,\,-5\).

2.2. В скобках приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{(c-1)^2-(c+1)^2}{c^2-1}=\frac{-4c}{c^2-1}\). Деление на \(\frac{2c}{1-c^2}\) равносильно умножению на обратную дробь, поэтому результат равен \(2\). Ограничения: \(c\ne-1,0,1\).

3. График — гипербола \(y=\frac8x\) с ветвями в I и III четвертях; для построения можно отметить точки \((1;8),(2;4),(4;2),(-1;-8),(-2;-4),(-4;-2)\). Ноль не входит в область определения, поэтому \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\). Функция отрицательна при \(x<0\).

4. Разложим знаменатели: \(a^2-8a+16=(a-4)^2\), \(a^2-16=(a-4)(a+4)\). Первая скобка равна \(\frac{4a^2}{(a-4)^2}\), вторая — \(-\frac{4a}{(a-4)(a+4)}\). Их частное равно \(-\frac{a(a+4)}{a-4}\). Ограничения: \(a\ne-4,0,4\).

5. Возведём данное равенство в квадрат: \(x^2+2+\frac1{x^2}=6.5^2\). Значит, \(x^2+\frac1{x^2}=42.25-2=40.25\).

Ответ: 1в) \(\frac{20c}{b+c}\); 1г) \(\frac{12}{x+5}\); 2.2) 2; 3) \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\), отрицательные значения при \(x<0\); 4) \(-\frac{a(a+4)}{a-4}\); 5) 40,25.