Вариант 1. 1. Выполните действия: а) \(\frac{9x^8}{y^3}:\frac{6x^4}{y^5}\); б) \(\frac{4x^3}{x+2}\cdot\frac{x^2+4x+4}{8x^2}\); в) \(\frac{3a-9}{a+2}:\frac{a^2-9}{a^2-4}\). 2. Упростите выражение \(\left(\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}\right):\frac{xy}{x^2-y^2}\). 3. Докажите тождество \(\frac{c^2}{(c-5)^2}\cdot\frac{25-c^2}{5c+25}+\frac{c}{c-5}=-\frac{c}{5}\). 4. Найдите значение \(x\), при котором значение дроби \(\frac{x}{3-x}\) меньше значения дроби \(\frac{6}{x}\) на 1.

1.

а) Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\frac{9x^8}{y^3}:\frac{6x^4}{y^5}=\frac{9x^8}{y^3}\cdot\frac{y^5}{6x^4}=\frac{3x^4y^2}{2}\).

б) Разложим квадратный трёхчлен: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\).

\(\frac{4x^3}{x+2}\cdot\frac{(x+2)^2}{8x^2}=\frac{x(x+2)}{2}\), где \(x\ne0,-2\).

в) Разложим на множители и заменим деление умножением:

\(\frac{3(a-3)}{a+2}\cdot\frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)}=\frac{3(a-2)}{a+3}\), где \(a\ne-2,2,3,-3\).

Ответ: а) \(\frac{3x^4y^2}{2}\); б) \(\frac{x(x+2)}{2}\); в) \(\frac{3(a-2)}{a+3}\).

2. Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x+y}=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{4xy}{x^2-y^2}\).

Теперь разделим на вторую дробь:

\(\frac{4xy}{x^2-y^2}:\frac{xy}{x^2-y^2}=4\).

Ответ: 4 (при допустимых значениях переменных).

3. В условии напечатано неверное тождество. Например, при \(c=1\) левая часть равна \(-\frac{21}{80}\), а правая — \(-\frac15\). Это не равные числа. Кроме того, выражения не определены при \(c=5\) и \(c=-5\). Проверьте условие: вероятно, в нём есть опечатка, поэтому доказать его в таком виде нельзя.

4. «Меньше на 1» означает, что \(\frac{x}{3-x}=\frac6x-1\). Область допустимых значений: \(x\ne0,3\).

Умножим уравнение на \(x(3-x)\): \(x^2=(6-x)(3-x)\).

Раскроем скобки: \(x^2=18-9x+x^2\), откуда \(9x=18\) и \(x=2\). Это значение допустимо.

Ответ: \(x=2\).