Вариант 1. 1. Запишите теорему синусов. 2. Выберите верные утверждения. Исправьте неверные утверждения: 1) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2) Косинус — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету в прямоугольном треугольнике. 3. Решите треугольник ABC, если: 1) ∠A = 30°, ∠B = 45°, AB = 5; 2) ∠B = 60°, AB = 14, BC = 20. 4. В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, BC = 6√2. Найдите AC.

1. По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: \(\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{AB}{\sin C}\).

2.

1. Верно: по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
2. Неверно. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3.1. \(C=180°-30°-45°=105°\). По теореме синусов, поскольку \(AB=5\) лежит напротив угла \(C\):

\(BC=\dfrac{5\sin30°}{\sin105°}=\dfrac{5}{2}(\sqrt6-\sqrt2)\).

\(AC=\dfrac{5\sin45°}{\sin105°}=\dfrac{5}{2}(\sqrt3-1)\).

3.2. Стороны \(AB=14\) и \(BC=20\) заключают угол \(B=60°\). По теореме косинусов:

\(AC^2=14^2+20^2-2\cdot14\cdot20\cos60°=316\), поэтому \(AC=2\sqrt{79}\).

Для остальных углов: \(\cos A=\dfrac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\cdot BC\cdot AC}=\dfrac{25}{2\sqrt{79}}\), откуда \(A\approx27.2°\), а \(C=120°-A\approx92.8°\).

4. Сначала найдём третий угол: \(C=180°-45°-30°=105°\). По теореме синусов:

\(AC=\dfrac{BC\sin B}{\sin C}=\dfrac{6\sqrt2\cdot\sin30°}{\sin105°}=3\sqrt2(\sqrt3-1)\).

Ответ: 3.1) \(C=105°\), \(BC=\frac52(\sqrt6-\sqrt2)\), \(AC=\frac52(\sqrt3-1)\); 3.2) \(AC=2\sqrt{79}\), \(A\approx27.2°\), \(C\approx92.8°\); 4) \(AC=3\sqrt2(\sqrt3-1)\).