Вариант 1. 4. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 15 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC = 15 : 2 = 7,5.

Пусть AH = x. Поскольку H лежит на AC между M и C, MH = x − 7,5, а HC = 15 − x.

Из прямоугольных треугольников BMH и BHC и условия BM = BC:

BM² = BH² + MH², BC² = BH² + HC², следовательно, MH² = HC².

Обе длины положительны, значит MH = HC. Тогда x − 7,5 = 15 − x, откуда 2x = 22,5 и x = 11,25.

Ответ: AH = 11,25.