Вариант 1. А1. Выполните действия: а) \(\frac{3a-9}{b+2}\cdot\frac{3b+6}{18a-54}\); б) \(\frac{(a-2)^2}{4a+5}:\frac{3a-6}{2b+10}\); в) \(\frac{2x}{5x-10}-\frac{x}{x-2}\). А2. Упростите выражение: \(\frac{15b}{5-b}+\frac{6b}{b^2-25}-\frac{7b+35}{3}\). А3. Найдите числовое значение выражения: \(\frac{4}{x^2+4x+4}\left(\frac{x^2+12}{x^3-4}-\frac{x+2}{x-2}\right)\) при \(b=-1\). Б1. Решите уравнение: \(\frac{(x+1)^2}{6}+\frac{(x-1)^2}{12}-\frac{x^2-1}{4}=1\).

А1.

а) Разложим множители: \(3a-9=3(a-3)\), \(3b+6=3(b+2)\), \(18a-54=18(a-3)\). Тогда
\(\displaystyle \frac{3(a-3)}{b+2}\cdot\frac{3(b+2)}{18(a-3)}=\frac{1}{2}\).
Ограничения: \(b\ne-2\), \(a\ne3\).

б) Знак «:» означает деление на дробь:
\(\displaystyle \frac{(a-2)^2}{4a+5}\cdot\frac{2b+10}{3a-6}=\frac{(a-2)^2}{4a+5}\cdot\frac{2(b+5)}{3(a-2)}=\frac{2(a-2)(b+5)}{3(4a+5)}\).
Ограничения: \(a\ne-\frac54\), \(a\ne2\), \(b\ne-5\).

в) Так как \(5x-10=5(x-2)\), то
\(\displaystyle \frac{2x}{5(x-2)}-\frac{x}{x-2}=\frac{2x-5x}{5(x-2)}=-\frac{3x}{5(x-2)}\), \(x\ne2\).

А2. В первой дроби \(5-b=-(b-5)\), а \(b^2-25=(b-5)(b+5)\):
\(\displaystyle -\frac{15b}{b-5}+\frac{6b}{(b-5)(b+5)}-\frac{7(b+5)}{3}\).
Общий знаменатель — \(3(b-5)(b+5)\):
\(\displaystyle \frac{-45b(b+5)+18b-7(b+5)(b^2-25)}{3(b-5)(b+5)}\).
Числитель равен \(-7b^3-80b^2-52b+875\), поэтому
\(\displaystyle \frac{-7b^3-80b^2-52b+875}{3(b^2-25)}\), \(b\ne\pm5\).

А3. В условии параметр указан как \(b=-1\), но выражение зависит от \(x\), а значение \(x\) не задано. Поэтому числовое значение вычислить нельзя; кроме того, при буквальном условии параметр не соответствует выражению. Укажите, пожалуйста, правильное значение параметра.

Б1. Умножим обе части уравнения на 12:
\(2(x+1)^2+(x-1)^2-3(x^2-1)=12\).
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\(2x^2+4x+2+x^2-2x+1-3x^2+3=12\),
\(2x+6=12\), откуда \(x=3\).
Проверка: при \(x=3\) левая часть исходного уравнения равна \(\frac{16}{6}+\frac{4}{12}-\frac{8}{4}=1\).
Ответ: \(x=3\).