Вариант 1. А4. В равнобедренной трапеции ABCD ∠ACD = 135°, AD = 20 см, BC = 10 см. Найдите периметр трапеции.

Пусть основания трапеции — AD и BC. В равнобедренной трапеции меньшее основание расположено симметрично относительно большего, поэтому можно задать координаты: D(0; 0), A(20; 0), B(5; h), C(15; h).

Тогда векторы CA = (5; −h) и CD = (−15; −h). По формуле скалярного произведения и условию ∠ACD = 135°:

\(\dfrac{h^2-75}{\sqrt{h^2+25}\sqrt{h^2+225}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Обозначим \(t=h^2\). После возведения в квадрат получаем \(2(t-75)^2=(t+25)(t+225)\), откуда \(t^2-550t+5625=0\). Корни: \(t=275\pm100\sqrt{7}\). Поскольку левая часть исходного равенства отрицательна, должно быть \(t<75\); значит, \(h^2=275-100\sqrt{7}\).

Боковая сторона равна \(AB=CD=\sqrt{h^2+5^2}=\sqrt{300-100\sqrt{7}}=10\sqrt{3-\sqrt{7}}\) см. Поэтому периметр:

\(P=AD+BC+AB+CD=20+10+20\sqrt{3-\sqrt{7}}\approx41.87\) см.

Ответ: \(30+20\sqrt{3-\sqrt{7}}\) см (примерно 41,87 см).