Вариант 1. Алгебра 1. Упростите выражение: 2x (2x+3y)-(x + y)². 2. Решите систему уравнений: { 4x-y=9; 3x+7y=-1. 3.а) Постройте график функции у = 2x+2. 6) Определите, проходит ли график функции через точку А(- 10; -18). 4. Разложите на множители: a) 3a²-9ab; 6) x²-25x. 5. По электронной почте послано три сообщения объемом 600 килобайт. Объем первого сообщения на 300 килобайт меньше объема третьего сообщения и в 3 раза меньше объема второго. Найдите объем каждого сообщения. Геометрия 6. Сумма вертикальных углов AND и CNB, образованных при пересечении прямых АВ и CD, равна 208°. Найдите угол ANC. 7. Докажите равенство треугольников КОЕ и DOC, если КО-ОД, ЕО-OC. 8. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание этого треугольника.

Вариант 1. Алгебра

Задание 1. Упрощение выражения

Упростим выражение \( 2x (2x+3y)-(x + y)² \):

1. Раскроем первую скобку: \( 2x \cdot 2x + 2x \cdot 3y = 4x^2 + 6xy \).
2. Раскроем квадрат суммы \( (x + y)² \): \( x^2 + 2xy + y^2 \).
3. Подставим и вычтем: \( 4x^2 + 6xy - (x^2 + 2xy + y^2) \).
4. Раскроем скобки с учетом знака минус: \( 4x^2 + 6xy - x^2 - 2xy - y^2 \).
5. Приведем подобные слагаемые: \( (4x^2 - x^2) + (6xy - 2xy) - y^2 = 3x^2 + 4xy - y^2 \).

Ответ: \( 3x^2 + 4xy - y^2 \).

Задание 2. Решение системы уравнений

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} 4x - y = 9 \\ 3x + 7y = -1 \end{cases} \)

1. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 4x - 9 \).
2. Подставим во второе уравнение: \( 3x + 7(4x - 9) = -1 \).
3. Раскроем скобки: \( 3x + 28x - 63 = -1 \).
4. Приведем подобные слагаемые: \( 31x = 63 - 1 \) \( \Rightarrow \) \( 31x = 62 \).
5. Найдем \( x \): \( x = \frac{62}{31} = 2 \).
6. Подставим \( x = 2 \) в выражение для \( y \): \( y = 4(2) - 9 = 8 - 9 = -1 \).

Ответ: \( x = 2, y = -1 \).

Задание 3. График функции

3.а) Построение графика функции \( y = 2x + 2 \).

Это линейная функция, график — прямая. Чтобы построить прямую, достаточно найти две точки.

• При \( x = 0 \), \( y = 2(0) + 2 = 2 \). Точка (0; 2).
• При \( y = 0 \), \( 0 = 2x + 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = -2 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \). Точка (-1; 0).

3.б) Проходит ли график через точку А(-10; -18).

Подставим координаты точки А в уравнение функции:

\( -18 = 2(-10) + 2 \)

\( -18 = -20 + 2 \)

\( -18 = -18 \)

Равенство верно, значит, график проходит через точку А(-10; -18).

Ответ: Да, проходит.

Задание 4. Разложение на множители

а) \( 3a^2 - 9ab \)

1. Вынесем общий множитель \( 3a \): \( 3a(a - 3b) \).

б) \( x^2 - 25x \)

1. Вынесем общий множитель \( x \): \( x(x - 25) \).

Ответ: а) \( 3a(a - 3b) \); б) \( x(x - 25) \).

Задание 5. Объем сообщений

Пусть \( V_1 \), \( V_2 \), \( V_3 \) — объем первого, второго и третьего сообщений соответственно.

Всего сообщений: 600 Кб.

Из условия известно:

• \( V_1 = V_3 - 300 \)
• \( V_1 = \frac{1}{3} V_2 \) \( \Rightarrow \) \( V_2 = 3V_1 \)

Сумма объемов: \( V_1 + V_2 + V_3 = 600 \).

Выразим \( V_3 \) через \( V_1 \): \( V_3 = V_1 + 300 \).

Подставим \( V_2 \) и \( V_3 \) в уравнение суммы:

\( V_1 + 3V_1 + (V_1 + 300) = 600 \)

\( 5V_1 + 300 = 600 \)

\( 5V_1 = 300 \)

\( V_1 = 60 \) Кб.

Теперь найдем \( V_2 \) и \( V_3 \):

\( V_2 = 3V_1 = 3 \cdot 60 = 180 \) Кб.

\( V_3 = V_1 + 300 = 60 + 300 = 360 \) Кб.

Проверка: \( 60 + 180 + 360 = 600 \). Верно.

Ответ: Объем первого сообщения 60 Кб, второго — 180 Кб, третьего — 360 Кб.

Вариант 1. Геометрия

Задание 6. Вертикальные углы

Дано, что \( \angle AND + \angle CNB = 208^{\circ} \). \( \angle AND \) и \( \angle CNB \) — вертикальные углы, значит, они равны: \( \angle AND = \angle CNB \).

Тогда \( 2 \cdot \angle AND = 208^{\circ} \) \( \Rightarrow \) \( \angle AND = 104^{\circ} \).

\( \angle ANC \) и \( \angle AND \) — смежные углы, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ANC + \angle AND = 180^{\circ} \)

\( \angle ANC + 104^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle ANC = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ANC = 76^{\circ} \).

Задание 7. Равенство треугольников

Дано: \( \triangle KOE \) и \( \triangle DOC \), \( KO = OD \), \( EO = OC \).

Доказать: \( \triangle KOE = \triangle DOC \).

Доказательство:

Рассмотрим \( \triangle KOE \) и \( \triangle DOC \).

1. \( KO = OD \) — по условию.

2. \( EO = OC \) — по условию.

3. \( \angle KOE = \angle DOC \) — как вертикальные углы.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle KOE = \triangle DOC \).

Что и требовалось доказать.

Задание 8. Равнобедренный треугольник

Дано:

• \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( AC \).
• \( \angle B = 120^{\circ} \).
• \( BH \) — высота, \( BH = 8 \) см.

Найти: основание \( AC \).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, то углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
2. Высота \( BH \) в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BHC \) (угол \( H = 90^{\circ} \)).
3. В \( \triangle BHC \): \( \angle BCH = 30^{\circ} \), \( \angle HBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. В \( \triangle BHC \) катет \( BH \) лежит против угла \( \angle BCH = 30^{\circ} \), а гипотенуза — \( BC \).
5. \( BH = \frac{1}{2} BC \) \( \Rightarrow \) \( BC = 2 \cdot BH = 2 \cdot 8 = 16 \) см.
6. Так как \( BH \) — медиана, то \( AH = HC \). \( HC = \frac{1}{2} AC \).
7. В \( \triangle BHC \) найдем \( HC \) с помощью тангенса: \( \tan(30^{\circ}) = \frac{BH}{HC} \) \( \Rightarrow \) \( HC = \frac{BH}{\tan(30^{\circ})} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \) см.
8. Основание \( AC = 2 \cdot HC = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 16\sqrt{3} \) см.