Вариант 1. Базовый уровень. Решить уравнения: 1) x² − 4x + 3 = 0; 2) 5x² + 8x − 4 = 0; 3) 7x² + 6x − 1 = 0. Средний уровень. Решить уравнения: 1) 5x² − 3 = 0; 2) x² + x = 0; 3) x² + 6 = 5x. Сложный уровень. Решить уравнения: 1) x⁴ − 82x² + 81 = 0; 2) (x² − 4x)/(x − 7) = 21/(x − 7). Сократить дробь: (x² + x − 6)/(x² − 2x − 15).

Question

Вопрос:

Фото задания

Вариант 1. Базовый уровень. Решить уравнения: 1) x² − 4x + 3 = 0; 2) 5x² + 8x − 4 = 0; 3) 7x² + 6x − 1 = 0. Средний уровень. Решить уравнения: 1) 5x² − 3 = 0; 2) x² + x = 0; 3) x² + 6 = 5x. Сложный уровень. Решить уравнения: 1) x⁴ − 82x² + 81 = 0; 2) (x² − 4x)/(x − 7) = 21/(x − 7). Сократить дробь: (x² + x − 6)/(x² − 2x − 15).

Accepted Answer

Базовый уровень

Разложим на множители: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)=0\). Поэтому \(x=1\) или \(x=3\).
По формуле корней: \(D=8^2-4\cdot5\cdot(-4)=144\), поэтому \(x=\frac{-8\pm12}{10}\). Корни: \(x=\frac25\) и \(x=-2\).
\(D=6^2-4\cdot7\cdot(-1)=64\), поэтому \(x=\frac{-6\pm8}{14}\). Корни: \(x=\frac17\) и \(x=-1\).

Средний уровень

\(5x^2=3\), значит \(x=\pm\sqrt{\frac35}=\pm\frac{\sqrt{15}}5\).
\(x^2+x=x(x+1)=0\), значит \(x=0\) или \(x=-1\).
Перенесём всё в левую часть: \(x^2-5x+6=0\). Тогда \((x-2)(x-3)=0\), откуда \(x=2\) или \(x=3\).

Сложный уровень

Положим \(y=x^2\). Тогда \(y^2-82y+81=0=(y-1)(y-81)\), откуда \(x^2=1\) или \(x^2=81\). Следовательно, \(x=-9,-1,1,9\).
Ограничение: \(x\ne7\). При умножении обеих частей на \(x-7\) получаем \(x^2-4x=21\), то есть \((x-7)(x+3)=0\). Корень \(7\) не подходит по ОДЗ; остаётся \(x=-3\).

Разложим числитель и знаменатель на множители: \(\frac{x^2+x-6}{x^2-2x-15}=\frac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-5)}\). При сокращении сохраняем ограничения исходной дроби: \(x\ne-3,5\).

Ответ: базовый уровень — 1) 1; 3; 2) −2; 2/5; 3) −1; 1/7. Средний уровень — 1) ±√15/5; 2) −1; 0; 3) 2; 3. Сложный уровень — 1) −9; −1; 1; 9; 2) −3. Сокращённая дробь: (x−2)/(x−5), x ≠ −3, 5.