Вариант 1. Дан треугольник ABC, E ∈ AB, K ∈ BC, BE:BA = BK:BC = 2:5. Через прямую AC проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника ABC. а) Докажите, что EK ∥ α. б) Найдите длину отрезка AC, если EK = 4 см.

а) По условию \(\frac{BE}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{2}{5}\). Значит, точки E и K делят стороны AB и BC в одинаковом отношении.

По обратной теореме Фалеса \(EK\parallel AC\). Поскольку AC лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая EK параллельна AC и не лежит в \(\alpha\), получаем \(EK\parallel\alpha\).

б) Из подобия треугольников BEK и BAC следует \(\frac{EK}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{2}{5}\).

Подставим \(EK=4\) см: \(\frac{4}{AC}=\frac{2}{5}\), откуда \(AC=\frac{4\cdot5}{2}=10\) см.

Ответ: а) \(EK\parallel\alpha\); б) 10 см.