Вариант 1. Итоговая контрольная работа (модуль Геометрия) 1. В треугольнике АВС ∠A = 70°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ - высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ДАОС = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Решение:

1. В треугольнике АВС ∠A = 70°, ∠C = 40°.

1. а) Доказательство, что треугольник АВС — равнобедренный:
   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол ∠B: \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 40° = 70° \).
   Так как \( \angle A = \angle B = 70° \), то треугольник АВС является равнобедренным. Основанием равнобедренного треугольника является сторона, противолежащая углу между равными углами. В данном случае, это сторона АВ.
   Ответ: Треугольник равнобедренный, основание — АВ.
2. б) Нахождение углов, на которые высота ВМ делит угол АВС:
   Высота ВМ перпендикулярна основанию АС, значит, \( \angle BMA = 90° \).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник ВМА: \( \angle ABM = 90° - \angle A = 90° - 70° = 20° \).
   Угол ∠ABC равен 70°. Угол ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC.
   \( \angle MBC = \angle ABC - \angle ABM = 70° - 20° = 50° \).
   Ответ: Высота ВМ делит угол АВС на углы 20° и 50°.

2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них.

1. а) Докажите, что ∆АОС = ∆BOD:
   По условию, точка О — середина АВ и CD. Это означает, что \( AO = OB \) и \( CO = OD \).
   Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, поэтому \( \angle AOC = \angle BOD \).
   По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AOC = \triangle BOD \).
2. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°:
   Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).
   Так как \( \angle ODB = 20° \), то \( \angle OCA = 20° \).
   Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( \angle OAC + \angle AOC + \angle OCA = 180° \).
   \( \angle OAC + 115° + 20° = 180° \).
   \( \angle OAC + 135° = 180° \).
   \( \angle OAC = 180° - 135° = 45° \).
   Ответ: \( \angle OAC = 45° \).

3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Пусть периметр треугольника P = 64 см. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые стороны), а одна отличается (основание). Возможны два случая:

1. Случай 1: Основание равно 16 см.
   Пусть основание b = 16 см. Тогда сумма двух боковых сторон равна \( P - b = 64 - 16 = 48 \) см.
   Каждая боковая сторона a = \( \frac{48}{2} = 24 \) см.
   Проверим условие существования треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей.
   \( 24 + 24 > 16 \) (48 > 16, верно).
   \( 24 + 16 > 24 \) (40 > 24, верно).
   Ответ: Боковая сторона равна 24 см.
2. Случай 2: Боковая сторона равна 16 см.
   Пусть боковая сторона a = 16 см. Тогда две боковые стороны равны \( 16 \times 2 = 32 \) см.
   Основание b = \( P - 2a = 64 - 32 = 32 \) см.
   Проверим условие существования треугольника:
   \( 16 + 16 > 32 \) (32 > 32, неверно).
   В этом случае треугольник с такими сторонами существовать не может.
   Вывод: Единственно возможный случай — основание равно 16 см, а боковые стороны равны 24 см.

Ответ: Длина боковой стороны треугольника равна 24 см.