ВАРИАНТ 1. К-1 (Виленкин, п. 7) 1. Разложите на простые множители число 4104. 2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 792 и 1188. 3. Докажите, что числа: а) 260 и 117 не взаимно простые; б) 945 и 544 взаимно простые. 4. Выполните действия: 273,6:0,76+7,24-16. 5. Всегда ли сумма двух простых чисел является составным числом?

Решение:

1. Разложение числа 4104 на простые множители:
   \( 4104 = 2 \cdot 2052 = 2 \cdot 2 \cdot 1026 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 513 = 2^3 \cdot 3 \cdot 171 = 2^3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 57 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 19 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 19 \)
2. Нахождение НОД и НОК чисел 792 и 1188:
   Разложим числа на простые множители:
   \( 792 = 2 \cdot 396 = 2^2 \cdot 198 = 2^3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 \)
   \( 1188 = 2 \cdot 594 = 2^2 \cdot 297 = 2^2 \cdot 3 \cdot 99 = 2^2 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 11 \)
   Наибольший общий делитель (НОД):
   \( \text{НОД}(792, 1188) = 2^{\min(3,2)} \cdot 3^{\min(2,3)} \cdot 11^{\min(1,1)} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 11 = 396 \)
   Наименьшее общее кратное (НОК):
   \( \text{НОК}(792, 1188) = 2^{\max(3,2)} \cdot 3^{\max(2,3)} \cdot 11^{\max(1,1)} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 11 = 8 \cdot 27 \cdot 11 = 216 \cdot 11 = 2376 \)
3. Доказательство взаимной простоты чисел:
   а) Числа 260 и 117 не взаимно простые.
   \( 260 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13 \)
   \( 117 = 3^2 \cdot 13 \)
   Общий делитель чисел 260 и 117 равен 13. Следовательно, числа не являются взаимно простыми.
   б) Числа 945 и 544 взаимно простые.
   \( 945 = 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \)
   \( 544 = 2^5 \cdot 17 \)
   Общих простых делителей у чисел 945 и 544 нет. Следовательно, числа являются взаимно простыми.
4. Выполнение действий:
   \( 273,6 : 0,76 + 7,24 - 16 \)
   Сначала выполним деление:
   \( 273,6 : 0,76 = \frac{27360}{76} = 360 \)
   Теперь выполним сложение и вычитание:
   \( 360 + 7,24 - 16 = 367,24 - 16 = 351,24 \)
5. Анализ суммы двух простых чисел:
   Сумма двух простых чисел может быть как простым, так и составным числом.
   Исключение: Если одно из простых чисел равно 2 (единственное четное простое число), то сумма с любым другим простым числом будет нечетной. Если другое простое число не равно 3, то сумма будет составным числом (например, \( 2 + 5 = 7 \) — простое, \( 2 + 3 = 5 \) — простое).
   Если оба простых числа — нечетные, то их сумма всегда будет четным числом, большим 2, а значит, составным.
   Например:
   \( 3 + 5 = 8 \) (составное)
   \( 3 + 7 = 10 \) (составное)
   \( 5 + 7 = 12 \) (составное)
   Частный случай:
   \( 2 + 3 = 5 \) (простое)
   Вывод: Сумма двух простых чисел не всегда является составным числом. Например, \( 2 + 3 = 5 \).

Ответ: 1. \( 4104 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 19 \). 2. НОД = 396, НОК = 2376. 3. а) доказано, б) доказано. 4. 351,24. 5. Нет, не всегда.