Вариант 1. Контрольная работа. Решение треугольников, 9 класс. 1) Две стороны треугольника равны 9√2 см и 11 см, а угол между ними — 135°. Найдите третью сторону треугольника. 2) В треугольнике ABC известно, что AB = 3√2 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону BC треугольника и радиус описанной около него окружности. 3) Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 13 см, 10 см и 7 см. 4) Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол C равен 60°, BC = 12 см, AB = 20 см.

По теореме косинусов для стороны c, противоположной углу 135°:

\(c^2=(9\sqrt2)^2+11^2-2\cdot9\sqrt2\cdot11\cos135^\circ\).

Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}\), получаем \(c^2=162+121+198=481\), поэтому \(c=\sqrt{481}\) см.

Сначала найдём угол B: \(B=180^\circ-120^\circ-45^\circ=15^\circ\).

По теореме синусов \(\frac{BC}{\sin120^\circ}=\frac{AB}{\sin45^\circ}=2R\).

\(BC=3\sqrt2\cdot\frac{\sin120^\circ}{\sin45^\circ}=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=3\sqrt3\) см.

\(2R=\frac{3\sqrt2}{\sin45^\circ}=6\), следовательно, \(R=3\) см.

Наибольшая сторона — 13 см. Сравним квадраты: \(13^2=169\), а \(10^2+7^2=149\). Так как \(169>149\), треугольник тупоугольный.

Пусть две стороны, образующие угол 120°, равны x и x+8. По теореме косинусов для третьей стороны 28 см:

\(28^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ\).

Поскольку \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(784=x^2+(x+8)^2+x(x+8)=3x^2+24x+64\).

Отсюда \(3x^2+24x-720=0\), или \(x^2+8x-240=0\). Корни: 12 и −20; длина положительна, значит, стороны равны 12 см и 20 см.

Периметр: \(12+20+28=60\) см.

Сторона AB = 20 см лежит напротив угла C = 60°. По теореме синусов \(\frac{AB}{\sin C}=2R\).

\(2R=\frac{20}{\sin60^\circ}=\frac{40}{\sqrt3}\), поэтому \(R=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}\) см.