Вариант 1. Найдите производные: 1) \(\frac{z^4y^{20}}{z^3y^3}\); 2) \(\frac{3b-b^2}{b-y}\); 3) \(\frac{15a(a-a^2)}{20b(a-a)}\); 4) \(\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}\); 5) \(\frac{10x^2y^4(x-y)}{20xy^2(x-y)}\); 6) \(\frac{y^3-x^3}{x^2-2xy+y^2}\); 7) \(\frac{xy-3yz}{x^2-2xy}\); 8) \(\frac{x^3-xy}{x^2y-xy^2}\).

Упростим каждую дробь, раскладывая многочлены на множители и сокращая общие множители. В выражениях, где знаменатель равен нулю, исходная дробь не определена.

1. \(\frac{z^4y^{20}}{z^3y^3}=zy^{17}\), при \(z\ne0, y\ne0\).
2. \(\frac{3b-b^2}{b-y}=\frac{b(3-b)}{b-y}\); общих множителей нет.
3. В знаменателе \(a-a=0\), поэтому дробь не определена.
4. \(\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2}=\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)}=\frac{x+y}{x-y}\), при \(x\ne y\) и \(x\ne -y\).
5. \(\frac{10x^2y^4(x-y)}{20xy^2(x-y)}=\frac{xy^2}{2}\), при \(x\ne0, y\ne0, x\ne y\).
6. \(\frac{y^3-x^3}{x^2-2xy+y^2}=\frac{(y-x)(y^2+xy+x^2)}{(x-y)^2}=-\frac{x^2+xy+y^2}{x-y}\), при \(x\ne y\).
7. \(\frac{xy-3yz}{x^2-2xy}=\frac{y(x-3z)}{x(x-2y)}\); общих множителей нет.
8. \(\frac{x^3-xy}{x^2y-xy^2}=\frac{x(x^2-y)}{xy(x-y)}=\frac{x^2-y}{y(x-y)}\), при \(x\ne0, y\ne0, x\ne y\).

Ответ: результаты упрощения приведены по пунктам; в пункте 3 исходное выражение не определено.