Вариант 1. Найти X: 1) треугольник с углами 120° и 45°, сторона 8 лежит напротив угла 45°, найти сторону X, лежащую напротив угла 120°; 2) треугольник со сторонами X и 6, угол между ними 45°, сторона напротив этого угла равна 4√2; 3) определить вид треугольника со сторонами 3, 5, 7.

По теореме синусов: \(\frac{X}{\sin 120^\circ}=\frac{8}{\sin 45^\circ}\).

Подставим значения: \(X=\frac{8\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{8\cdot\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2}=4\sqrt{6}\).

Ответ: \(X=4\sqrt{6}\).

По теореме косинусов для стороны, противоположной углу 45°: \((4\sqrt{2})^2=X^2+6^2-2\cdot X\cdot6\cos45^\circ\).

Получаем \(32=X^2+36-6\sqrt{2}X\), то есть \(X^2-6\sqrt{2}X+4=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(X=\frac{6\sqrt{2}\pm\sqrt{72-16}}{2}=3\sqrt{2}\pm2\sqrt{14}\). Поскольку длина должна быть положительной, допустим только знак «плюс».

Ответ: \(X=3\sqrt{2}+2\sqrt{14}\).

Наибольшая сторона — 7. Сравним квадраты: \(7^2=49\), а \(3^2+5^2=34\). Так как \(49>34\), треугольник тупоугольный.

Ответ: тупоугольный треугольник.