Вариант 1. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$. С помощью графика найдите: а) значения $y$ при $x=1; -2; 3$; б) значения $x$, если $y=-1; 2; -6$; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1;6]$; г) при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? Найдите точки пересечения графиков функций: а) $y=\frac{8}{x}$ и $y=2x$; б) $y=-\frac{12}{x}$ и $y=-3x$. Принадлежит ли графику функции $y=-\frac{72}{x}$ точка: $A(-6;12)$; $B(9;-8)$; $C(4;18)$; $D(0;-72)$?

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$. С помощью графика найдите: а) значения $y$ при $x=1; -2; 3$; б)…$ Фото задания

Вариант 1. Постройте график функции $y=\frac{6}{x}$. С помощью графика найдите: а) значения $y$ при $x=1; -2; 3$; б) значения $x$, если $y=-1; 2; -6$; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1;6]$; г) при каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения? Найдите точки пересечения графиков функций: а) $y=\frac{8}{x}$ и $y=2x$; б) $y=-\frac{12}{x}$ и $y=-3x$. Принадлежит ли графику функции $y=-\frac{72}{x}$ точка: $A(-6;12)$; $B(9;-8)$; $C(4;18)$; $D(0;-72)$?

Accepted Answer

График $y=\frac{6}{x}$ — гипербола. Для построения можно отметить точки $(1;6), (2;3), (3;2), (6;1), (-1;-6), (-2;-3), (-3;-2), (-6;-1)$ и провести через них две ветви, приближающиеся к осям координат.

а) Подставляем заданные значения: $y(1)=6$, $y(-2)=-3$, $y(3)=2$.
б) Решаем $x=\frac{6}{y}$: при $y=-1$, $x=-6$; при $y=2$, $x=3$; при $y=-6$, $x=-1$.
в) На отрезке $[1;6]$ функция убывает, поэтому максимум достигается при $x=1$, минимум — при $x=6$: $y_{\max}=6$, $y_{\min}=1$.
г) Так как числитель положителен, дробь отрицательна при отрицательном знаменателе: $x<0$.

Точки пересечения находим, приравнивая выражения для $y$.

а) $\frac{8}{x}=2x$, откуда $x^2=4$, поэтому $x=\pm2$. При $x=2$, $y=4$; при $x=-2$, $y=-4$. Точки: $(2;4)$ и $(-2;-4)$.
б) $-\frac{12}{x}=-3x$, откуда $x^2=4$, поэтому $x=\pm2$. При $x=2$, $y=-6$; при $x=-2$, $y=6$. Точки: $(2;-6)$ и $(-2;6)$.

Для проверки принадлежности подставляем абсциссу точки в $y=-\frac{72}{x}$. Для $x=0$ функция не определена.

$A(-6;12)$: $-72/(-6)=12$ — принадлежит.
$B(9;-8)$: $-72/9=-8$ — принадлежит.
$C(4;18)$: $-72/4=-18\ne18$ — не принадлежит.
$D(0;-72)$: при $x=0$ функция не определена — не принадлежит.

Ответ: а) 6; −3; 2. б) −6; 3; −1. в) наибольшее 6, наименьшее 1. г) $x<0$. Пересечения: а) $(2;4), (-2;-4)$; б) $(2;-6), (-2;6)$. Точки A и B принадлежат графику; C и D — нет.