Вариант 1. Постройте графики функций и опишите её свойства: а) \(y=3x-2\); б) \(y=-\frac{4}{x}\).

а) Функция \(y=3x-2\)

Это линейная функция. Для построения найдём несколько точек:

• при \(x=0\): \(y=-2\), точка \((0;-2)\);
• при \(x=1\): \(y=1\), точка \((1;1)\);
• при \(x=2\): \(y=4\), точка \((2;4)\).

График — прямая, проходящая через эти точки.

Свойства:

• область определения: \(D(f)=(-\infty;+\infty)\);
• область значений: \(E(f)=(-\infty;+\infty)\);
• функция возрастает на всей области определения, так как коэффициент наклона \(3>0\);
• нулевое значение: \(3x-2=0\), откуда \(x=\frac{2}{3}\);
• пересечение с осью \(Oy\): точка \((0;-2)\);
• пересечение с осью \(Ox\): точка \(\left(\frac{2}{3};0\right)\);
• \(y>0\) при \(x>\frac{2}{3}\), \(y<0\) при \(x<\frac{2}{3}\).

б) Функция \(y=-\frac{4}{x}\)

Область определения не содержит ноль, поэтому для построения возьмём точки:

• \((-4;1)\), \((-2;2)\), \((-1;4)\);
• \((1;-4)\), \((2;-2)\), \((4;-1)\).

График — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Свойства:

• область определения: \(D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\);
• область значений: \(E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\);
• функция возрастает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
• нулей нет;
• с осями координат график не пересекается;
• асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\);
• функция нечётная, так как \(f(-x)=-f(x)\).

Точки для построения: для первой функции можно соединить точки \((0;-2)\), \((1;1)\), \((2;4)\) прямой; для второй — отметить указанные точки и плавно провести две ветви гиперболы.