Вариант 1. Решение уравнений высших степеней: 1) \(x^4-3x^2+2=0\); 2) \(x^3-7x+6=0\); 3) \(6x^3-x^2-20x+12=0\); 4) \((2x+\frac1x)^2+2x+\frac1x-12=0\); 5) \(x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0\); 6) \(x(x+1)(x+2)(x+3)=3\).

Положим \(y=x^2\). Тогда \(y^2-3y+2=0\), то есть \((y-1)(y-2)=0\). Следовательно, \(x^2=1\) или \(x^2=2\).

Ответ: \(x=\pm1,\ \pm\sqrt2\).

Разложим многочлен на множители: \(x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)\).

Ответ: \(x=1,\ 2,\ -3\).

Подстановка \(x=-2\) обращает многочлен в нуль, поэтому выделяем множитель \(x+2\): \(6x^3-x^2-20x+12=(x+2)(6x^2-13x+6)=(x+2)(3x-2)(2x-3)\).

Ответ: \(x=-2,\ \frac23,\ \frac32\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\). Обозначим \(t=2x+\frac1x\). Тогда уравнение принимает вид \(t^2+t-12=0\), откуда \(t=3\) или \(t=-4\).

При \(t=3\): \(2x^2-3x+1=0\), поэтому \(x=1\) или \(x=\frac12\).

При \(t=-4\): \(2x^2+4x+1=0\), поэтому \(x=-1\pm\frac{\sqrt2}{2}\).

Ответ: \(x=1,\ \frac12,\ -1+\frac{\sqrt2}{2},\ -1-\frac{\sqrt2}{2}\).

Так как \(x\ne0\), разделим уравнение на \(x^2\) и положим \(u=x+\frac1x\). Получаем \(u^2-5u+6=0\), откуда \(u=2\) или \(u=3\).

При \(u=2\): \((x-1)^2=0\), значит, \(x=1\). При \(u=3\): \(x^2-3x+1=0\), значит, \(x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}\).

Ответ: \(x=1,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac{3+\sqrt5}{2}\).

Сгруппируем множители: \(x(x+3)(x+1)(x+2)=3\). Положим \(t=x^2+3x+1\); тогда левая часть равна \((t-1)(t+1)=t^2-1\). Значит, \(t^2=4\), то есть \(t=2\) или \(t=-2\).

При \(t=2\): \(x^2+3x-1=0\), откуда \(x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}2\). При \(t=-2\) получается \(x^2+3x+3=0\), не имеющее действительных корней.

Ответ: \(x=\frac{-3-\sqrt{13}}2,\ \frac{-3+\sqrt{13}}2\).