Вариант 1: Решите уравнение: 1) sin4x = -√2/2; 2) cos(x/2 - π/8) = 0; 3) cos3x + cos5x = 0 Решите неравенство: 1) cos5x < 1/2; 2) tg(5x - π/3) ≥ -√3/3 Решите уравнение: 1) 3cos²x + 7sinx - 5 = 0; 2) 2sin²x + 1,5sin2x - 3cos²x = 1; 3) sin8x + sin10x + cosx = 0. Решите уравнение sin2x + √3 cos2x = 2cos6x.

Решение:

Вариант 1

Решите уравнение:

1. 1) sin4x = -√2/2
   • Общее решение:
   • 4x = -π/4 + 2πn, n ∈ Z → x = -π/16 + πn/2, n ∈ Z
   • 4x = 5π/4 + 2πn, n ∈ Z → x = 5π/16 + πn/2, n ∈ Z
2. 2) cos(x/2 - π/8) = 0
   • Общее решение:
   • x/2 - π/8 = π/2 + πn, n ∈ Z
   • x/2 = π/2 + π/8 + πn, n ∈ Z
   • x/2 = 5π/8 + πn, n ∈ Z
   • x = 5π/4 + 2πn, n ∈ Z
3. 3) cos3x + cos5x = 0
   • Используем формулу суммы косинусов: cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
   • 2cos((3x+5x)/2)cos((3x-5x)/2) = 0
   • 2cos(4x)cos(-x) = 0
   • cos(4x)cos(x) = 0
   • Следовательно, cos(4x) = 0 или cos(x) = 0
   • 4x = π/2 + πn, n ∈ Z → x = π/8 + πn/4, n ∈ Z
   • x = π + 2πk, k ∈ Z

Решите неравенство:

1. 1) cos5x < 1/2
   • Общее решение:
   • 2π/3 + 2πn < 5x < 4π/3 + 2πn, n ∈ Z
   • 2π/15 + 2πn/5 < x < 4π/15 + 2πn/5, n ∈ Z
2. 2) tg(5x - π/3) ≥ -√3/3
   • Общее решение:
   • -π/6 + πn ≤ 5x - π/3 < π/2 + πn, n ∈ Z
   • -π/6 + π/3 + πn ≤ 5x < π/2 + π/3 + πn, n ∈ Z
   • π/6 + πn ≤ 5x < 5π/6 + πn, n ∈ Z
   • π/30 + πn/5 ≤ x < π/6 + πn/5, n ∈ Z

Решите уравнение:

1. 1) 3cos²x + 7sinx - 5 = 0
   • Заменим cos²x на 1 - sin²x:
   • 3(1 - sin²x) + 7sinx - 5 = 0
   • 3 - 3sin²x + 7sinx - 5 = 0
   • -3sin²x + 7sinx - 2 = 0
   • 3sin²x - 7sinx + 2 = 0
   • Пусть t = sinx, тогда 3t² - 7t + 2 = 0
   • D = (-7)² - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25
   • t1 = (7 + 5) / (2*3) = 12/6 = 2 (не подходит, так как sinx ≤ 1)
   • t2 = (7 - 5) / (2*3) = 2/6 = 1/3
   • sinx = 1/3
   • x = arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z
   • x = π - arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z
2. 2) 2sin²x + 1,5sin2x - 3cos²x = 1
   • Используем sin2x = 2sinxcosx и 1 = sin²x + cos²x
   • 2sin²x + 1,5(2sinxcosx) - 3cos²x = sin²x + cos²x
   • 2sin²x + 3sinxcosx - 3cos²x = sin²x + cos²x
   • sin²x + 3sinxcosx - 4cos²x = 0
   • Разделим на cos²x (при условии cosx ≠ 0):
   • tg²x + 3tgx - 4 = 0
   • Пусть y = tgx, тогда y² + 3y - 4 = 0
   • (y+4)(y-1) = 0
   • y = -4 или y = 1
   • tgx = -4 → x = arctg(-4) + πn, n ∈ Z
   • tgx = 1 → x = π/4 + πn, n ∈ Z
   • Проверим cosx ≠ 0: при x = π/4 + πn, cosx ≠ 0. При tgx = -4, cosx ≠ 0.
3. 3) sin8x + sin10x + cosx = 0
   • Используем формулу суммы синусов: sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
   • (sin8x + sin10x) + cosx = 0
   • 2sin(9x)cos(-x) + cosx = 0
   • 2sin(9x)cos(x) + cosx = 0
   • cosx(2sin(9x) + 1) = 0
   • Следовательно, cosx = 0 или 2sin(9x) + 1 = 0
   • cosx = 0 → x = π/2 + πn, n ∈ Z
   • 2sin(9x) = -1 → sin(9x) = -1/2
   • 9x = -π/6 + 2πk, k ∈ Z → x = -π/54 + 2πk/9, k ∈ Z
   • 9x = 7π/6 + 2πk, k ∈ Z → x = 7π/54 + 2πk/9, k ∈ Z

Решите уравнение sin2x + √3 cos2x = 2cos6x.

• Используем формулу Rsin(α+β) или Rcos(α-β). Преобразуем левую часть:
• √3 sin2x + cos2x = 2(√3/2 sin2x + 1/2 cos2x) = 2(cos(π/6)sin2x + sin(π/6)cos2x) = 2sin(2x + π/6)
• Значит, 2sin(2x + π/6) = 2cos6x
• sin(2x + π/6) = cos6x
• Используем sinA = cos(π/2 - A)
• cos(π/2 - (2x + π/6)) = cos6x
• cos(π/2 - 2x - π/6) = cos6x
• cos(π/3 - 2x) = cos6x
• Следовательно, π/3 - 2x = 6x + 2πn, n ∈ Z или π/3 - 2x = -6x + 2πn, n ∈ Z
• 1) π/3 - 2x = 6x + 2πn
• π/3 - 2πn = 8x
• x = π/24 - πn/4, n ∈ Z
• 2) π/3 - 2x = -6x + 2πn
• π/3 - 2πn = -4x
• x = -π/12 + πn/2, n ∈ Z