Вариант 1. Решите уравнения: а) 16 · 4^(x+3) = 8^(x−2); б) 6^(x+3) − 180 · 6^x = 36; в) 9^x + 3^x = 12; г) 5 · 4^x + 3 · 10^x = 2 · 25^x; д) 64^x + 6 · 8^x − 7 = 0. Решите неравенства: а) 0,9^x ≥ 1 19/81; б) 4^(2x−1) < 0,25; в) 5^(x+2) − 5^x > 24; г) (1/5)^(x−1) + (1/5)^(x+1) ≤ 26.

Уравнения

1. Представим обе части как степени двойки: \(2^{2x+10}=2^{3x-6}\). Приравниваем показатели: \(2x+10=3x-6\), поэтому \(x=16\).
2. Вынесем \(6^x\): \(6^x(216-180)=36\), значит \(36\cdot6^x=36\), \(6^x=1\). Следовательно, \(x=0\).
3. Пусть \(t=3^x>0\). Тогда \(t^2+t=12\), то есть \((t-3)(t+4)=0\). Подходит \(t=3\), поэтому \(x=1\).
4. Пусть \(t=(2/5)^x>0\). После деления уравнения на \(25^x\) получаем \(5t^2+3t=2\), или \((5t-2)(t+1)=0\). Так как \(t>0\), \(t=2/5\), откуда \(x=1\).
5. Пусть \(t=8^x>0\); тогда \(64^x=t^2\). Получаем \(t^2+6t-7=0\), то есть \((t-1)(t+7)=0\). Подходит \(t=1\), поэтому \(x=0\).

Неравенства

1. \(1\ 19/81=100/81=(10/9)^2\), а \(0{,}9^x=(10/9)^{-x}\). Поскольку основание больше 1, \(-x\ge2\), значит \(x\le-2\).
2. \(0{,}25=4^{-1}\). Тогда \(2x-1<-1\), откуда \(x<0\).
3. \(5^{x+2}-5^x=24\cdot5^x\). Поэтому \(24\cdot5^x>24\), то есть \(5^x>1\), откуда \(x>0\).
4. Положим \(t=(1/5)^x>0\). Тогда \(5t+t/5\le26\), или \(t\le5\). Следовательно, \(5^{-x}\le5\), откуда \(x\ge-1\).

Ответ: уравнения: а) 16; б) 0; в) 1; г) 1; д) 0. Неравенства: а) \(x\le-2\); б) \(x<0\); в) \(x>0\); г) \(x\ge-1\).