Вариант 1. Решите уравнения: а) (2x² - 5x - 7)(x - 1) = 0; б) x³ - 9x = 0; в) x⁴ - 7x² + 6 = 0. Решите уравнения: а) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = 0; б) 5 / (x² + 2x + 1) = 2 / (1 - x²) + 1 / (x - 1). Решите задачу: Расстояние между пунктами А и В равно 90 км. Из А в В выезжают одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибывает в пункт В на 1 час позже второго. Какова скорость каждого велосипедиста? Решите уравнение: (x² - 5x)² + 10x² - 50x + 24 = 0.

Question

Вопрос:

Вариант 1. Решите уравнения: а) (2x² - 5x - 7)(x - 1) = 0; б) x³ - 9x = 0; в) x⁴ - 7x² + 6 = 0. Решите уравнения: а) (x² - 3x + 2) / (x - 2) = 0; б) 5 / (x² + 2x + 1) = 2 / (1 - x²) + 1 / (x - 1). Решите задачу: Расстояние между пунктами А и В равно 90 км. Из А в В выезжают одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибывает в пункт В на 1 час позже второго. Какова скорость каждого велосипедиста? Решите уравнение: (x² - 5x)² + 10x² - 50x + 24 = 0.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Вариант 1

Решите уравнения:

а) \( (2x^2 - 5x - 7)(x - 1) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( 2x^2 - 5x - 7 = 0 \) или \( x - 1 = 0 \)

Для \( 2x^2 - 5x - 7 = 0 \): \( D = (-5)^2 - 4(2)(-7) = 25 + 56 = 81 \), \( \sqrt{D} = 9 \).

\( x_1 = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5 \)

\( x_2 = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Для \( x - 1 = 0 \): \( x = 1 \).

Ответ: \( x = -1, 1, 3.5 \).

б) \( x^3 - 9x = 0 \)

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(x^2 - 9) = 0 \)

\( x = 0 \) или \( x^2 - 9 = 0 \)

\( x^2 = 9 \) \( \implies \) \( x = \pm 3 \).

Ответ: \( x = 0, \pm 3 \).

в) \( x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( y = x^2 \). Тогда \( y^2 - 7y + 6 = 0 \).

\( D = (-7)^2 - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25 \), \( \sqrt{D} = 5 \).

\( y_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6 \)

\( y_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1 \)

Возвращаемся к замене:

\( x^2 = 6 \) \( \implies \) \( x = \pm \sqrt{6} \)

\( x^2 = 1 \) \( \implies \) \( x = \pm 1 \).

Ответ: \( x = \pm 1, \pm \sqrt{6} \).

Решите уравнения:

а) \( \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = 0 \)

Числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \) и \( x - 2 \neq 0 \).

\( (x - 1)(x - 2) = 0 \)

\( x = 1 \) или \( x = 2 \).

Так как \( x \neq 2 \), то единственный корень \( x = 1 \).

Ответ: \( x = 1 \).

б) \( \frac{5}{x^2 + 2x + 1} = \frac{2}{1 - x^2} + \frac{1}{x - 1} \)

Приведём к общему знаменателю \( (x - 1)(x + 1)(x + 1) \) или \( (x-1)(x+1)^2 \).

\( \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(1 - x)(1 + x)} + \frac{1}{x - 1} \)

\( \frac{5}{(x + 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{1}{x - 1} \)

Умножим обе части на \( (x - 1)(x + 1)^2 \):

\( 5(x - 1) = -2(x + 1) + 1(x + 1)^2 \)

\( 5x - 5 = -2x - 2 + x^2 + 2x + 1 \)

\( 5x - 5 = x^2 - 1 \)

\( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

\( D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 \), \( \sqrt{D} = 3 \).

\( x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).

Проверим знаменатели. При \( x = 1 \) знаменатели \( 1 - x^2 = 0 \) и \( x - 1 = 0 \). Значит, \( x = 1 \) — посторонний корень.

При \( x = 4 \) знаменатели \( x^2 + 2x + 1 = 16 + 8 + 1 = 25 \neq 0 \), \( 1 - x^2 = 1 - 16 = -15 \neq 0 \), \( x - 1 = 3 \neq 0 \). Значит, \( x = 4 \) — верный корень.

Ответ: \( x = 4 \).

Решите задачу:

Расстояние между пунктами А и В равно 90 км. Из А в В выезжают одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибывает в пункт В на 1 час позже второго. Какова скорость каждого велосипедиста?

Пусть \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч).

Тогда \( v_1 = v_2 + 1 \) — скорость первого велосипедиста (км/ч).

Время в пути для второго велосипедиста: \( t_2 = \frac{90}{v_2} \) (ч).

Время в пути для первого велосипедиста: \( t_1 = \frac{90}{v_1} = \frac{90}{v_2 + 1} \) (ч).

По условию, первый велосипедист прибывает на 1 час позже второго, но это противоречит условию, где сказано, что скорость первого НА 1 км/ч БОЛЬШЕ, а прибывает он ПОЗЖЕ. Скорее всего, в условии опечатка, и первый прибывает на 1 час РАНЬШЕ. Если первый прибывает на 1 час РАНЬШЕ, то \( t_2 - t_1 = 1 \).

\( \frac{90}{v_2} - \frac{90}{v_2 + 1} = 1 \)

Умножим обе части на \( v_2(v_2 + 1) \):

\( 90(v_2 + 1) - 90v_2 = v_2(v_2 + 1) \)

\( 90v_2 + 90 - 90v_2 = v_2^2 + v_2 \)

\( 90 = v_2^2 + v_2 \)

\( v_2^2 + v_2 - 90 = 0 \)

\( D = 1^2 - 4(1)(-90) = 1 + 360 = 361 \), \( \sqrt{D} = 19 \).

\( v_2 = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) (скорость не может быть отрицательной, \( v_2 = \frac{-1 - 19}{2} = -10 \) — посторонний корень).

Скорость второго велосипедиста \( v_2 = 9 \) км/ч.

Скорость первого велосипедиста \( v_1 = v_2 + 1 = 9 + 1 = 10 \) км/ч.

Проверка: \( t_2 = 90/9 = 10 \) ч. \( t_1 = 90/10 = 9 \) ч. \( t_2 - t_1 = 10 - 9 = 1 \) ч. Всё верно.

Ответ: Скорость первого велосипедиста — 10 км/ч, скорость второго — 9 км/ч.

Решите уравнение:

\( (x^2 - 5x)^2 + 10x^2 - 50x + 24 = 0 \)

Заметим, что \( 10x^2 - 50x = 10(x^2 - 5x) \).

Сделаем замену \( y = x^2 - 5x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + 10y + 24 = 0 \)

\( D = 10^2 - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4 \), \( \sqrt{D} = 2 \).

\( y_1 = \frac{-10 + 2}{2} = -4 \)

\( y_2 = \frac{-10 - 2}{2} = -6 \).

Возвращаемся к замене:

\( x^2 - 5x = -4 \) \( \implies \) \( x^2 - 5x + 4 = 0 \)

\( D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 \), \( \sqrt{D} = 3 \).

\( x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \).

\( x^2 - 5x = -6 \) \( \implies \) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

\( D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \), \( \sqrt{D} = 1 \).

\( x_3 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

\( x_4 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \).

Ответ: \( x = 1, 2, 3, 4 \).