Вариант 1. Упростить выражения: а) $x-\frac{x}{x+1}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в) $\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}$; г) $\frac{3x+y}{x^2-xy}-\frac{x+3y}{y^2-xy}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант 1. Упростить выражения: а) $x-\frac{x}{x+1}$; б) $\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём к общему знаменателю:
$x-\frac{x}{x+1}=\frac{x(x+1)-x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}$.
Общий знаменатель — $5x(x-5)$:
$\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}=\frac{10x+(x+5)(x-5)}{5x(x-5)}=\frac{x^2+10x-25}{5x(x-5)}$.
Общий знаменатель — $(x+y)(x-y)$:
$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}=\frac{x(x-y)+y(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$.
Используем разложения $x^2-xy=x(x-y)$ и $y^2-xy=-y(x-y)$:
$\frac{3x+y}{x^2-xy}-\frac{x+3y}{y^2-xy}=\frac{y(3x+y)+x(x+3y)}{xy(x-y)}=\frac{x^2+6xy+y^2}{xy(x-y)}$.

Ответ: а) $\frac{x^2}{x+1}$; б) $\frac{x^2+10x-25}{5x(x-5)}$; в) $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$; г) $\frac{x^2+6xy+y^2}{xy(x-y)}$.

Вариант 1. Упростить выражения: а) \(x-\frac{x}{x+1}\); б) \(\frac{2}{x-5}+\frac{x+5}{5x}\); в) \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}\); г) \(\frac{3x+y}{x^2-xy}-\frac{x+3y}{y^2-xy}\).